scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita
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scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita [2014/07/03 10:10] mickele [Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare)] |
scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita [2021/06/13 13:09] (versione attuale) |
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Linea 38: | Linea 38: | ||
> In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, | > In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, | ||
- | Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe | + | Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe deformazioni la cui evoluzione nel tempo viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare, che vedremo |
===== Corollario del teorema dell' | ===== Corollario del teorema dell' | ||
- | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione cambia restando simile a se stesso. | + | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad un sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione |
- | Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare: | + | L' |
- | > In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, | + | Applicare sul medesimo solido uno stato deformativo impresso $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_B = k \; \boldsymbol{\varepsilon}_{el, |
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\sigma}_B = \boldsymbol{0}$$ | ||
+ | |||
+ | Sommando i due sistemi A e B, lo stato deformativo complessivo sarà | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\varepsilon}_{A+B} = \boldsymbol{\varepsilon}_{el, | ||
+ | |||
+ | Lo stato tensionale invece sarà pari a | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\sigma}_{A+B} = \boldsymbol{\sigma}_A + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\sigma}_A$$ | ||
+ | |||
+ | Il teoremo di Kirchoff ci garantisce che la soluzione appena trovata è unica. | ||
+ | |||
+ | In un corpo viscoelastico lineare omogeneo le deformazioni di fluage sono simili alle deformazioni elastiche iniziali. Applicando il corollario appena visto otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare: | ||
+ | |||
+ | > In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$. | ||
===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) ===== | ===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) ===== | ||
Linea 56: | Linea 72: | ||
Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo in presenza di forze costanti $F$ applicate al tempo $t_0$. Il corollario del teorema dell' | Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo in presenza di forze costanti $F$ applicate al tempo $t_0$. Il corollario del teorema dell' | ||
- | Al tempo $t_0$ applichiamo | + | Al tempo $t_1$ applichiamo |
Per analizzare cosa accade vediamo il nostro sistema come sovrapposizione di due sistemi: | Per analizzare cosa accade vediamo il nostro sistema come sovrapposizione di due sistemi: | ||
- | * un sistema | + | * un sistema |
- | * un sistema | + | * un sistema |
+ | |||
+ | Lo stato tensionale del sistema $A$, per il 1° principio della viscoelasticità lineare, tende ad annullarsi per $t \rightarrow \infty$; lo stato tensionale del sistema $B$, per il 2° principio della viscoelasticità lineare, è invece costante. Sovrapponendo i due sistemi avremo che per $t \rightarrow \infty$ il corpo tenderà allo stato tensionale del sistema $B$. | ||
+ | |||
+ | Volendo procedere ad un' | ||
+ | |||
+ | Indichiamo invece con $X_{B,i}$ le reazioni vincolari costanti del sistema $B$. Anche in questo caso è abbastanza agevole determinare i valori di $X_{B,i}$ risolvendo la struttura sotto le ipotesi | ||
+ | |||
+ | $$X_{B,i} = \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow \Delta \bar{X}_i = X_{B,i} - \bar{X}_i$$ | ||
+ | |||
+ | Indichiamo infine con $X_{A,i} (t)$ le reazioni vincolari | ||
+ | |||
+ | All' | ||
+ | |||
+ | $$X_{post, | ||
+ | |||
+ | D' | ||
+ | |||
+ | $$ X_{post,i} (t_1) = X_{A,i} (t_1) + X_{B,i} (t_1)$$ | ||
+ | |||
+ | Sostituendo la prima nella seconda | ||
+ | |||
+ | $$ \bar{X}_i = X_{A,i} (t_1) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i | ||
+ | |||
+ | Noto il valore di $X_{A,i} (t)$ al tempo $t_1$, applicando il 1° principio della viscoelasticità lineare, determiniamo $X_{A,i} (t)$ che sarà quindi pari a | ||
+ | |||
+ | $$X_{A,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right)$$ | ||
+ | |||
+ | La reazione del sistema a vincoli posticipati per $t > t_1$ sarà allora data dalla relazione | ||
+ | |||
+ | $$ X_{post,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow X_{post,i} (t_1) = \left[ 1 - R \left( t_1, t \right) \right] \Delta \bar{X}_i + \bar{X}_i $$ | ||
+ | |||
+ | Notiamo che per $t \longrightarrow + \infty$, $R \left( t_1, t \right) \longrightarrow 0$, e quindi $ X_{post,i} (t) \longrightarrow \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i$, si verifica cioé che la reazione vincolare del sistema a vincolo posticipato tende alla reazione vincolare del sistema $B$ in cui il vincolo è presente fin dall' |
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