scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita
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scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita [2013/04/20 18:54] mickele [Teorema dell'isomorfismo (2° principio della viscoelasticità lineare)] |
scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita [2021/06/13 13:09] (versione attuale) |
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Linea 14: | Linea 14: | ||
Alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el, | Alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el, | ||
- | Introduciamo nel corpo delle deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_B = k \, \varepsilon_{el, | + | Introduciamo nel corpo delle deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_B = k \, \varepsilon_{el, |
- | Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono non congurenti | + | Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono incongruenti (non rispettano le equazioni di congruenza) |
- | $$\varepsilon_{tot, | + | Supponiamo che queste siano uguali ed opposte alle $\bar{\varepsilon}_B$. Per dimostrare la correttezza di tale supposizione verifichiamo che determinano una deformazione totale congruente e compatibile. Infatti |
- | Dimostrata quindi | + | $$\varepsilon_{tot, |
+ | |||
+ | e sappiamo per ipotesi che $\bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el, | ||
+ | |||
+ | Dimostrata quindi | ||
Verifichiamo cosa accade a livello tensionale. Poiché $\varepsilon_{el, | Verifichiamo cosa accade a livello tensionale. Poiché $\varepsilon_{el, | ||
Linea 26: | Linea 30: | ||
$$\sigma_{A+B} = \sigma_{A} + \sigma_{B} = \sigma_{A} \left( 1 - k \right)$$ | $$\sigma_{A+B} = \sigma_{A} + \sigma_{B} = \sigma_{A} \left( 1 - k \right)$$ | ||
- | che dimostra l' | + | che è uno stato di tensione simile a $\sigma_{A}$. |
- | Un corpo viscoelastico lineare può essere interpretato come un corpo elastico-lineare soggetto a deformazioni impresse isomorfe variabili nel tempo. Pertanto è possibile applicare il teorema dell' | + | Abbiamo così dimostrato l' |
+ | |||
+ | Un corpo viscoelastico lineare può essere interpretato come un corpo elastico-lineare soggetto a deformazioni impresse isomorfe variabili nel tempo. Pertanto è possibile applicare il teorema dell' | ||
> In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, | > In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, | ||
- | Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe | + | Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe deformazioni la cui evoluzione nel tempo viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare, che vedremo |
===== Corollario del teorema dell' | ===== Corollario del teorema dell' | ||
- | Un corollario del teorema dell' | + | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad un sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione invece cambia restando simile a se stesso. |
- | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione, mentre lo stato di deformazione cambia restando simile a se stesso. | + | L' |
- | Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare: | + | Applicare sul medesimo solido uno stato deformativo impresso $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_B = k \; \boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$, proporzionale a $\boldsymbol{\varepsilon}_{el, |
- | > In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, | + | $$\boldsymbol{\sigma}_B = \boldsymbol{0}$$ |
+ | |||
+ | Sommando i due sistemi A e B, lo stato deformativo complessivo sarà | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\varepsilon}_{A+B} = \boldsymbol{\varepsilon}_{el, | ||
+ | |||
+ | Lo stato tensionale invece sarà pari a | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\sigma}_{A+B} = \boldsymbol{\sigma}_A + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\sigma}_A$$ | ||
+ | |||
+ | Il teoremo di Kirchoff ci garantisce che la soluzione appena trovata è unica. | ||
+ | |||
+ | In un corpo viscoelastico lineare omogeneo le deformazioni di fluage sono simili alle deformazioni elastiche iniziali. Applicando il corollario appena visto otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare: | ||
+ | |||
+ | > In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$. | ||
===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) ===== | ===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) ===== | ||
Linea 52: | Linea 72: | ||
Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo in presenza di forze costanti $F$ applicate al tempo $t_0$. Il corollario del teorema dell' | Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo in presenza di forze costanti $F$ applicate al tempo $t_0$. Il corollario del teorema dell' | ||
- | Al tempo $t_0$ applichiamo un vincolo n+1. | + | Al tempo $t_1$ applichiamo |
+ | |||
+ | Per analizzare cosa accade vediamo il nostro sistema come sovrapposizione di due sistemi: | ||
+ | * un sistema $A$ in cui imponiamo sulla struttura scarica uno spostamento imposto $\bar{\eta}_{n+1}$; | ||
+ | * un sistema $B$ in cui il vincolo n+1 è applicato fin dall' | ||
+ | |||
+ | Lo stato tensionale del sistema $A$, per il 1° principio della viscoelasticità lineare, tende ad annullarsi per $t \rightarrow \infty$; lo stato tensionale del sistema $B$, per il 2° principio della viscoelasticità lineare, è invece costante. Sovrapponendo i due sistemi avremo che per $t \rightarrow \infty$ il corpo tenderà allo stato tensionale del sistema $B$. | ||
+ | |||
+ | Volendo procedere ad un' | ||
+ | |||
+ | Indichiamo invece con $X_{B,i}$ le reazioni vincolari costanti del sistema $B$. Anche in questo caso è abbastanza agevole determinare i valori di $X_{B,i}$ risolvendo la struttura sotto le ipotesi elastico lineari considerando il vincolo $n+1$ find all' | ||
+ | |||
+ | $$X_{B,i} = \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow \Delta \bar{X}_i = X_{B,i} - \bar{X}_i$$ | ||
+ | |||
+ | Indichiamo infine con $X_{A,i} (t)$ le reazioni vincolari del sistema $A$. Dal 1° principio della viscoelasticità lineare sappiamo che tale funzione sarà proporzionale al valore della funzione di rilassamento del materiale $R\left(t_1, | ||
+ | |||
+ | All' | ||
+ | |||
+ | $$X_{post, | ||
+ | |||
+ | D' | ||
+ | |||
+ | $$ X_{post,i} (t_1) = X_{A,i} (t_1) + X_{B,i} (t_1)$$ | ||
+ | |||
+ | Sostituendo la prima nella seconda | ||
+ | |||
+ | $$ \bar{X}_i = X_{A,i} (t_1) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i | ||
+ | |||
+ | Noto il valore di $X_{A,i} (t)$ al tempo $t_1$, applicando il 1° principio della viscoelasticità lineare, determiniamo $X_{A,i} (t)$ che sarà quindi pari a | ||
+ | |||
+ | $$X_{A,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right)$$ | ||
+ | |||
+ | La reazione del sistema a vincoli posticipati per $t > t_1$ sarà allora data dalla relazione | ||
+ | |||
+ | $$ X_{post,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow X_{post,i} (t_1) = \left[ 1 - R \left( t_1, t \right) \right] \Delta \bar{X}_i + \bar{X}_i $$ | ||
+ | |||
+ | Notiamo che per $t \longrightarrow + \infty$, $R \left( t_1, t \right) \longrightarrow 0$, e quindi $ X_{post,i} (t) \longrightarrow \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i$, si verifica cioé che la reazione vincolare del sistema a vincolo posticipato tende alla reazione vincolare del sistema $B$ in cui il vincolo è presente fin dall' |
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