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scienza_costruzioni:geometria_delle_aree_formule_applicative

Geometria delle aree: formule applicative

Sezioni compatte

Sezione rettangolare

Si consideri una sezione rettangolare di base $b$ e altezza $h$. Ovviamente l'area è data dalla relazione

$$A= b \cdot h$$

Ponendo l'origine del sistema di riferimento nel baricentro del rettangolo, e orientando l'asse $x$ parallelamente alla base, abbiamo che

$$I_{G,xx} = \frac{b \, h^3}{12}$$ $$I_{G,yy} = \frac{b^3 \, h}{12}$$ $$I_{G,xy} = 0$$

Settore di corona circolare

Si consideri una corona circolare di raggio esterno $R_e$ e raggio interno $R_i$. Di tale corona analizziamo il settore delimitato dai due raggi individuati dagli angoli $\alpha_i$ e $\alpha_f$ fromati con l'asse y.

Poniamo l'origine del nostro sistema di riferimento nel centro della corona circolare.

Per comodità di notazione poniamo inoltre

$$ \Delta \alpha = \alpha_f - \alpha_i$$

Abbiamo quindi

$$A = \frac{\Delta \alpha}{2} \left( R_e^2 - R_i^2 \right)$$

$$S_x = - \frac{\cos \alpha_f - \cos \alpha_i}{3} \left( R_e^3 - R_i^3 \right)$$

$$S_y = \frac{\sin \alpha_f - \sin \alpha_i}{3} \left( R_e^3 - R_i^3 \right)$$

$$I_{xx} = \left[ \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin(2\alpha_f) - \sin(2\alpha_i) }{4} \right] \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$

$$I_{yy} = \left[ \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin(2\alpha_f) - \sin(2\alpha_i) }{4} \right] \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$

$$I_{xy} = - \frac{\cos(2\alpha_f) - \cos(2\alpha_i) }{4} \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$

Poligonale chiusa

Consideriamo una sezione racchiusa dai segmenti congiungenti i punti $P_i$ ci coordinate $\left(x_i, y_i \right)$. Facciamo, per comodità di calcolo, le seguenti posizioni

$$\Delta x_i = x_{i+1} - x_{i}$$

$$\Delta y_i = y_{i+1} - y_{i}$$

Sotto tali ipotesi abbiamo

$$A = \sum \limits_i A_{i}$$

$$S_y = \sum \limits_i S_{y,i}$$

$$S_x = \sum \limits_i S_{x,i}$$

$$I_{yy} = \sum \limits_i I_{yy,i}$$

$$I_{xx} = \sum \limits_i I_{xx,i}$$

$$I_{xy} = \sum \limits_i I_{xy,i}$$

$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

$$\iint \limits_{S} x^2\, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

$$\iint \limits_{S} x\, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

Dobbiamo calcolare gli integrali sopra riportati in tutti i tratti $i$; per farlo osserviamo che sono integrali del tipo

$$\iint \limits_S x^\alpha y^\beta \; \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int \limits_{x1}^{x2} x^ \alpha \left( \int \limits_{0}^{y(x)} y^\beta \; \mathrm{d}y\right) \; \mathrm{d}x $$

Sostituiamo la variabile $x$ con la variabile $\xi = \left( x - x_i \right) / \Delta x_i \rightarrow x = x_i + \Delta x_i \, \xi$ con $0 \le \xi \le 1 $.

L'integrale diventa

$$\int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^\alpha \left( \int \limits_{0}^{y_i + \Delta y_i \, \xi} y^\beta \; \mathrm{d}y\right) \Delta x_i \; \mathrm{d}\xi = \frac{\Delta x_i }{\beta + 1} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^\alpha \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^{\beta + 1} \, \; \mathrm{d}\xi $$

L'area della porzione i-esima è data da

$$ \begin{align} A_i & = \iint \limits_{Si} \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \Delta x_i \left( y_i + \frac{\Delta y_i}{2} \right) \\ & = \frac{ x_{i+1} - x_{i} }{2} \left( y_{i+1} + y_{i} \right) \end{align} $$ I momenti statici sono dati da $$ \begin{align} S_{y,i} & = \iint \limits_{Si} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \Delta x_i \left( x_i \, y_i + \frac{x_i \, \Delta y_i + y_i \, \Delta x_i}{2} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i }{3} \right) = \\ & = \frac{x_{i+1} - x_{i}}{6} \left[ x_i \left( 2 y_i + y_{i+1} \right) + x_{i+1} \left( y_i + 2 y_{i+1} \right) \right] \end{align} $$ $$ \begin{align} S_{x,i} & = \iint \limits_{Si} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{\Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \frac{\Delta x_{i}}{2} \left( y_i^2 + y_i \, \Delta y_i + \frac{\Delta y_i^2 }{3} \right) \\ & = \frac{x_{i+1} - x_i}{6} \left( y_{i+1}^2+y_{i+1} \cdot y_{i} + y_{i}^2 \right) \end{align} $$ I momenti di inerzia $$\begin{align} I_{yy,i} & = \iint \limits_{Si} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right)^2 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \Delta x_i \left( x_i^2 \, y_i + x_i \, y_i \, \Delta x_i + \frac{y_i \, \Delta x_i^2}{3} + \frac{x_i^2 \, \Delta y_i}{2} + \frac{2 x_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i }{3} + \frac{\Delta x_i^2 \Delta y_i}{4} \right) = \\ & = \frac{x_{i+1} - x_i}{12} \left[ x_i^2 \left( 3 y_i + y_{i+1} \right) + 2 x_i \, x_{i+1} \left( y_i + y_{i+1} \right) + x_{i+1}^2 \left( y_i + 3 y_{i+1} \right) \right] \end{align}$$ $$\begin{align} I_{xx,i} & = \iint \limits_{Si} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{\Delta x_i }{3} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^3 \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \frac{\Delta x_i}{3} \left( y_i^3 + \frac{3}{2} y_i^2 \, \Delta y_i + y_i \, \Delta y_i^2 + \frac{\Delta y_i^3 }{4} \right) = \\ & = \frac{x_{i+1} - x_i}{12} \left( y_{i+1}^3 + y_{i+1}^2 y_i + y_{i+1} y_{i}^2 + y_{i}^3 \right) \end{align}$$ $$ \begin{align} I_{xy,i} & = \iint \limits_{Si} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{ \Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \frac{\Delta x_i}{2} \left( x_i \, y_i^2 + x_i \, y_i \, \Delta y_i + \frac{x_i \, \Delta y_i^2}{3} + \frac{y_i^2 \, \Delta x_i}{2} + \frac{2 y_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i}{3} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i^2}{4} \right) = \\ & = \frac{x_{i+1} - x_i}{24} \left[ y_{i}^2 \left( 3x_{i} + x_{i+1} \right) + 2 y_{i} y_{i+1} \left(x_{i} + x_{i+1} \right) + y_{i+1}^2 \left( 3 x_{i+1} + x_{i} \right) \right] \end{align}$$ E infine i momenti del terzo ordine $$ \begin{align} \iint \limits_{Si} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^3 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \Delta x_{i} \left( x_i^3 \, y_i + \frac{3 x_i^2 \, y_i \, \Delta x_i }{2} + x_i \, y_i \, \Delta x_i ^2 + \frac{y_i \, \Delta x_i^3}{4} + \frac{x_i^3 \, \Delta y_i }{2} + x_i^2 \, \Delta x_i \Delta y_i + \frac{3 \Delta x_i^2 \, \Delta y_i}{4} + \frac{\Delta x_i^3 \, \Delta y_i}{5} \right) = \\ & = \frac{x_{i+1} - x_i}{20} \left[ x_i^2 \, x_{i+1} \left( 3 y_{i} + 2 y_{i+1} \right) + x_i^3 \left( y_{i+1} + 4 y_{i} \right) + x_{i+1}^3 \left( 4 y_{i+1} + y_i \right) + x_{i} \, x_{i+1}^2 \left( 3 y_{i+1} + 2 y_{i} \right) \right] \end{align} $$ $$ \begin{align} \iint \limits_{Si} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i }{4} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^4 \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \frac{\Delta x_i }{4} \left( y_i^4 + 2 y_i^3 \, \Delta y_i + 2 y_i^2 \, \Delta y_i^2 + y_i \, \Delta y_i^3 + \frac{\Delta y_i^4}{3} \right) = \\ & = \frac{x_{i+1} - x_i}{20} \left( y_{i+1}^4 + y_{i+1}^3 y_{i} + y_{i+1}^2 y_{i}^2 + y_{i+1} y_{i}^3 + y_{i}^4 \right) \end{align} $$ $$ \begin{align} \iint \limits_{Si} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^2 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \frac{\Delta x_i}{2} \left( x_i^2 \, y_i^2 + x_i \, y_i^2 \, \Delta x_i + \frac{y_i^2 \, \Delta x_i }{3} + x_i^2 \, y_i \, \Delta y_i + \frac{4 x_i \, y_i \, \Delta x_i \Delta y_i }{3} + \frac{y_i \, \Delta x_i^2 \, \Delta y_i }{2} + \frac{x_i^2 \, \Delta y_i^2}{3} + \frac{x_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i^2 }{2} + \frac{\Delta x_i^2 \, \Delta y_i^2 }{5} \right) = \\ & = \frac{x_{i+1} - x_i}{60} \left[ x_i^2 \left( 6 y_{i}^2 + 3 y_i \, y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) + x_i \, x_{i+1} \left( 3 y_i^2 + 4 y_i \, y_{i+1} + 3 y_{i+1}^2 \right) + x_{i+1}^2 \left( 6 y_{i+1}^2 + 3 y_i \, y_{i+1} + y_i^2 \right) \right] \end{align} $$ $$ \begin{align} \iint \limits_{Si} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i}{3} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^3 \; \mathrm{d} \xi = \\ & = \frac{\Delta x_i}{3} \left( y_i^3 \, x_i + \frac{3 \Delta y_i \, x_i \, y_i^2}{2} + y_i^2 \Delta x_i \, \Delta y_i + \frac{y_i^3 \, \Delta x_i }{2} + \Delta y_i^2 \, x_i \, y_i + \frac{3 y_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i^2}{4} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i^3}{5} + \frac{x_i \, \Delta y_i^3}{4} \right) = \\ & = \frac{x_{i+1} - x_i}{60} \left[ y_i^3 \left( 4 x_i + x_{i+1} \right) + y_{i+1}^3 \left( x_i + 4 x_{i+1} \right) + y_i^2 \, y_{i+1} \left( 3 x_i + 2 x_{i+1} \right) + y_i \, y_{i+1}^2 \left( 2 x_i + 3 x_{i+1} \right) \right] \end{align} $$ =====Sezioni sottili===== Nel seguito riportiamo alcune formule per il calcolo di area, momenti statici e momenti di inerzia di sezioni sottili con spessore costante $t$.

Sezioni sottili rettilinee

Si consideri una sezione rettilinea sottile in cui:

  • $t$ è la dimensione minore della sezione
  • $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ sono le coordinate dei due estremi della sezione
  • $\Delta x = x_2 - x_1$ $\Delta y = y_2 - y_1$ sono rispettivament la differenza
  • $l = \sqrt{\Delta x ^2 + \Delta y ^2}$ è la lunghezza della sezione

L'area della sezione è data da

$$A = \iint \limits_{S} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} t \; \mathrm{d}s = t \, l \int \limits_{0}^{1} \mathrm{d}\xi = t \, l$$

I momenti del primo ordine (momenti statici) sono dati da

$$S_y = \iint \limits_{S} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1 + \frac{\Delta x}{2} \right)$$

$$S_x = \iint \limits_{A} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int \limits_{0}^{l} y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1 + \frac{\Delta y}{2} \right)$$

I momenti del second'ordine (momenti di inerzia) sono dati da

$$I_{yy} = \iint \limits_{S} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1^2 + x_1 \cdot \Delta x + \frac{\Delta x^2}{3} \right)$$

$$I_{xx} = \iint \limits_{S} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} y(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1^2 + y_1 \cdot \Delta y + \frac{\Delta y^2}{3} \right)$$

$$I_{xy} = \iint \limits_{S} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) \, y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1 \cdot y_1 + \frac{x_1 \cdot \Delta y + y_1 \cdot \Delta x}{2} + \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{3} \right)$$

I momenti del terzo ordine sono invece

$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^3 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^3 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1^3 + \frac{3}{2} x_1^2 \, \Delta x + x_1 \, \Delta x ^2 + \frac{\Delta x^3}{4} \right)$$

$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} y(s)^3 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^3 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1^3 + \frac{3}{2} y_1^2 \, \Delta y + y_1 \, \Delta y ^2 + \frac{\Delta y^3}{4} \right)$$

$$\iint \limits_{S} x y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) y(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = \, $$ $$ \, = t \, l \left( x_1 \, y_1^2 + x_1 \, y_1 \, \Delta y + \frac{1}{3} x_1 \, \Delta y ^2 + \frac{1}{2} y_1^2 \, \Delta x + \frac{2}{3} y_1 \, \Delta x \, \Delta y + \frac{1}{4} \Delta x \, \Delta y ^2\right)$$

$$\iint \limits_{S} x^2 y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^2 y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^2 \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = \, $$ $$ \, = t \, l \left( x_1^2 \, y_1 + x_1 \, y_1 \, \Delta x + \frac{1}{3} y_1 \, \Delta x ^2 + \frac{1}{2} x_1^2 \, \Delta y + \frac{2}{3} x_1 \, \Delta x \, \Delta y + \frac{1}{4} \Delta x^2 \, \Delta y \right)$$

Detta $\alpha$ l'inclinazione della dimensione maggiore rispetto all'asse $x$, i momenti d'inerzia baricentrici possono essere calcolati più semplicemente mediante le formule

$$I_{G,xx} = \frac{1}{12} t l^3 sin^2 \alpha$$

$$I_{G,yy} = \frac{1}{12} t l^3 cos^2 \alpha$$

$$I_{G,xy} = \frac{1}{12} t l^3 \sin \alpha \cos \alpha$$

Archi di circonferenza

Si consideri una sezione sottile costituita da un arco di circonferenza in cui

  • $R$ è il raggio dell'arco di cerchio
  • $t$ è lo spessore della sezione
  • $\alpha_i$ è l'angolo iniziale dell'arco, formato dal raggio iniziale e dall'asse X
  • $\alpha_f$ è l'angolo finale dell'arco, formato dal raggio finale e dall'asse X
  • $\Delta \alpha = \alpha_f - \alpha_i$ è l'angolo al centro su cui insiste l'arco

L'area della sezione è data da

$$A = \iint \limits_{S} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} t \, R \; \mathrm{d}\alpha = t \, R \, \Delta \alpha$$

I momenti del primo ordine sono dati da

$$S_{y} = \iint \limits_{S} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{c} + R \, \cos \alpha \right) t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ x_{C} \Delta \, \alpha + R \, \left( \sin \alpha_{f} - \sin \alpha_{i} \right) \right]$$

$$S_{x} = \iint \limits_{S} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{c} + R \, \sin \alpha \right) t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ y_{C} \Delta \, \alpha - R \, \left( \cos \alpha_{f} - \cos \alpha_{i} \right) \right]$$

I momenti del second'ordine sono dati da

$$I_{yy} = \iint \limits_{S} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ x_C^2 \Delta \alpha + 2 x_C \, R \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + R^2 \left( \frac{ \Delta \alpha }{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) \right]$$

$$I_{xx} = \iint \limits_{S} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ y_c^2 \Delta \alpha - 2 R \, y_C \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + R^2 \left( \frac{ \Delta \alpha }{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) \right] $$

$$I_{xy} = \iint \limits_{S} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \, t \, R \; \mathrm{d} \alpha = \, $$ $$ \, = t \, R \left[ x_C \, y_C \Delta \alpha - 2 R \, x_C \left( \cos \alpha_f - \sin \alpha_f \right) + 2 R \, y_C \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) - R^2 \frac{\cos 2 \alpha_f - \cos 2 \alpha_i }{4} \right]$$

I momenti del terz'ordine infine possono essere calcolati mediante

$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^3 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = \,$$ $$\, = t \, R \left[ x_{C}^3 \Delta \alpha + 3 x_{C}^2 R \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + 3 x_{C} \, R^2 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) + R^3 \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i - \frac{\sin^3 \alpha_f - \sin^3 \alpha_i }{3} \right) \right] $$

$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{c} + R \, \sin \alpha \right)^3 t \, R \; \mathrm{d} \alpha \,$$ $$\, = t \, R \left[ y_{C}^3 \Delta \alpha - 3 y_{C}^2 R \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + 3 y_{C} \, R^2 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) - R^3 \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i - \frac{\cos^3 \alpha_f - \cos^3 \alpha_i }{3} \right) \right] $$

$$\iint \limits_{S} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C}^2 + 2 y_{C} \, R \, \sin \alpha + R^2 \, \sin^2 \alpha \right)\; \mathrm{d} \alpha = \,$$ $$\, = t \, R \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} \, y_{C}^2 + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \, \sin \alpha + R^2 \, x_{C} \, \sin^2 \alpha + R \, y_{C}^2 \, \cos \alpha + 2 y_{C} \, R^2 \, \sin \alpha \, \cos \alpha + R^3 \, \sin^2 \alpha \, \cos \alpha \right)\; \mathrm{d} \alpha $$ $$\, = t \, R \left[ x_{C} \, y_{C}^2 \Delta \alpha - 2 R \, x_{C} \, y_{C} \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + R^2 \, x_{C} \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) + R \, y_{C}^2 \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + y_{C} \, R^2 \left( \sin^2 \alpha_f - \sin^2 \alpha_i \right) + \frac{R^3}{3} \left( \sin^3 \alpha_f - \sin^3 \alpha_i \right) \right] $$

$$\iint \limits_{S} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^2 \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \, t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C}^2 + 2 R \, x_{C} \, \cos \alpha + R^2 \, \cos^2 \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \; \mathrm{d} \alpha = \,$$ $$\, = t \, R \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C}^2 \, y_{C} + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \, \cos \alpha + R^2 \, y_{C} \, \cos^2 \alpha + R \, x_{C}^2 \sin \alpha + 2 R^2 \, x_{C} \, \sin \alpha \, \cos \alpha + R^3 \, \sin \alpha \, \cos^2 \alpha \right) \; \mathrm{d} \alpha $$ $$\, = t \, R \left[ x_{C}^2 \, y_{C} \Delta \alpha + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + R^2 \, y_{C} \left( \frac{\Delta \alpha }{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) - R \, x_{C}^2 \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + R^2 \, x_{C} \left( \sin^2 \alpha_f - \sin^2 \alpha_i \right) - \frac{R^3}{3} \left( \cos^3 \alpha_f - \cos^3 \alpha_i \right) \right] $$

Supponendo che il centro dell'arco coincida con l'origine del sistema di riferimento, le formule si semplificano

$$S_x = - t \, R^2 (\cos \alpha_f - \cos \alpha_i)$$

$$S_y = t \, R^2 (\sin \alpha_f - \sin \alpha_i)$$

$$I_{xx} = t \, R^3 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i}{4} \right)$$

$$I_{yy} = t \, R^3 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i}{4} \right)$$

$$I_{xy} = - t \, R^3 \frac { cos 2 \alpha_f - cos 2 \alpha_i }{4} $$


scienza_costruzioni/geometria_delle_aree_formule_applicative.txt · Ultima modifica: 2012/12/02 19:16 (modifica esterna)

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