scienza_costruzioni:geometria_delle_aree
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scienza_costruzioni:geometria_delle_aree [2013/03/09 09:58] mickele [Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale] |
scienza_costruzioni:geometria_delle_aree [2021/06/13 13:08] (versione attuale) |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Geometria delle aree ====== | ====== Geometria delle aree ====== | ||
+ | La geometria delle aree non è un argomento di per sé correlato con la teoria dell' | ||
=====Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale===== | =====Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale===== | ||
Linea 13: | Linea 14: | ||
Se trasliamo il sistema di riferimento secondo il vettore $\mathbf{r_0}$, | Se trasliamo il sistema di riferimento secondo il vettore $\mathbf{r_0}$, | ||
- | $$ \mathbf{r^\prime} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} = | + | $$ \mathbf{r^\nearrow} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} = |
\left( \begin{matrix} | \left( \begin{matrix} | ||
y \\\\ | y \\\\ | ||
Linea 21: | Linea 22: | ||
z_0 \end{matrix} \right)$$ | z_0 \end{matrix} \right)$$ | ||
- | Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo | + | Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo |
- | $$ \mathbf{r^\ast} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$ | + | $$\mathbf{r^\odot} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$ |
in cui | in cui | ||
Linea 35: | Linea 36: | ||
=====Area di una sezione===== | =====Area di una sezione===== | ||
+ | |||
+ | Definiamo area di una porzione del piano $S$ l' | ||
$$A = \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$ | $$A = \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$ | ||
Linea 41: | Linea 44: | ||
=====Momenti statici di una sezione===== | =====Momenti statici di una sezione===== | ||
- | Definiamo il vettore dei momenti statici di una sezione | + | Definiamo il vettore dei momenti statici di una porzione di piano $S$ come segue |
$$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix} | $$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix} | ||
Linea 53: | Linea 56: | ||
Traslando il sistema di riferimento, | Traslando il sistema di riferimento, | ||
- | $$ \mathbf{s^\prime} = \iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | + | $$ \mathbf{s^{\nearrow}} = \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow |
\iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
\iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
\mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$ | \mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$ | ||
- | Nel punto individuato dal vettore | + | In forma esplicita otteniamo |
+ | |||
+ | $$S_z^{\nearrow} = S_z - A \cdot y_0$$ | ||
+ | |||
+ | $$S_y^{\nearrow} = S_y - A \cdot z_0$$ | ||
+ | |||
+ | Da tale espressione vediamo che è possibile individuare un punto $G$ rispetto al quale si annulla il vettore | ||
- | $$\mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$ | + | $$\mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0} = \mathbf{0} \Longrightarrow |
- | il vettore dei momenti statici si annulla. Tale punto è detto baricentro. | + | Il punto $G$ individuato dal vettore $\mathbf{r_G}$ |
Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece | Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece | ||
- | $$\mathbf{s^\ast} = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | + | $$\mathbf{s^{\odot}} = \iint\limits_S \mathbf{r^{\odot}} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = |
\iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | \iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
\mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | \mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
\mathbf{N} \, \mathbf{s}$$ | \mathbf{N} \, \mathbf{s}$$ | ||
+ | In forma esplicita abbiamo le formule | ||
+ | |||
+ | $$S_{z}^{\odot} = S_z \cdot \cos \theta + S_y \cdot \sin \theta$$ | ||
+ | |||
+ | $$S_{y}^{\odot} = - S_z \cdot \sin \theta + S_y \cdot \cos \theta $$ | ||
=====Momenti di inerzia di una sezione===== | =====Momenti di inerzia di una sezione===== | ||
- | Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione | + | Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione |
$$\mathbf{I} = | $$\mathbf{I} = | ||
Linea 79: | Linea 93: | ||
I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} = | I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} = | ||
\iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | + | \iint\limits_S \left( r \right) \left( r \right)^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = |
- | \begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\\\ | + | \begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\ |
\iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$ | \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$ | ||
- | in cui l' | + | Notiamo che la matrice associata al tensore $\mathbf{I}$ è simmetrica. |
- | $$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T = | + | Nella suddetta definizione è stata introdotta l' |
+ | |||
+ | $$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left( r\right) \left( r\right | ||
\begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$ | \begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$ | ||
- | è detta prodotto diadico. | + | Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, |
+ | |||
+ | * è possibile individuare una coppia di vettori $\mathbf{r}$ $\mathbf{s}$ per i quali | ||
+ | $$\mathbf{r} \otimes \mathbf{s} \ne \mathbf{s} \otimes \mathbf{r}$$ | ||
+ | * per qualsiasi terna di vettori \mathbf{r}, \mathbf{s}, \mathbf{t} | ||
+ | $$\mathbf{r} \otimes \left( \mathbf{s} + \mathbf{t} \right) = \mathbf{r} \otimes \mathbf{s} + \mathbf{r} \otimes \mathbf{t}$$ | ||
+ | |||
+ | $$\left( \mathbf{r} + \mathbf{s} \right) \otimes \mathbf{t} = \mathbf{r} \otimes \mathbf{t} + \mathbf{s} \otimes \mathbf{t}$$ | ||
Traslando il sistema di riferimento, | Traslando il sistema di riferimento, | ||
- | $$\mathbf{I^\prime} = | + | $$\mathbf{I^\nearrow |
- | \iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \otimes \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | + | \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow |
- | \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | + | \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \\ |
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - | + | \left( |
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \otimes \mathbf{r_0} - | + | \left( |
- | \mathbf{r_0} \otimes \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + | + | \mathbf{r_0} \otimes |
- | \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z | + | \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} |
- | e infine | + | relazione che può essere scritta nella forma più compatta |
- | $$\mathbf{I^\prime} = | + | $$\mathbf{I^\nearrow} = |
\mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$ | \mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$ | ||
In forma esplicita otteniamo | In forma esplicita otteniamo | ||
- | $$I_{zz}^\prime = | + | $$I_{zz}^\nearrow |
I_{zz} - 2 \, y_0 \, S_{z} + A \, y_0^2$$ | I_{zz} - 2 \, y_0 \, S_{z} + A \, y_0^2$$ | ||
- | $$I_{yy}^\prime = | + | $$I_{yy}^\nearrow |
I_{yy} - 2 \, z_0 \, S_{y} + A \, z_0^2$$ | I_{yy} - 2 \, z_0 \, S_{y} + A \, z_0^2$$ | ||
- | $$I_{yz}^\prime = | + | $$I_{yz}^\nearrow |
I_{yz} - y_0 \, S_{y} - z_0 \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$ | I_{yz} - y_0 \, S_{y} - z_0 \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$ | ||
- | Se il sistema | + | Se la traslazione avviene rispetto ad un sistema baricentrico |
- | $$\mathbf{I^\prime} = | + | $$\mathbf{I^\nearrow} = |
\mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$ | \mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$ | ||
- | usualmente denominata legge di Huzgens. | + | usualmente denominata |
Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece | Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece | ||
- | $$ I^\ast = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \otimes \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | + | $$ I^\odot = \iint\limits_S \mathbf{r^\odot} \otimes \mathbf{r^\odot} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = |
\iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$ | \iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$ | ||
Linea 134: | Linea 157: | ||
e quindi la relazione precedente diventa | e quindi la relazione precedente diventa | ||
- | $$ I^\ast = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$ | + | $$ I^\odot = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$ |
Esplicitando le relazioni otteniamo | Esplicitando le relazioni otteniamo | ||
- | $$I_{yy}^\ast = I_{yy} \cos ^2 \theta | + | $$I_{yy}^\odot = I_{yy} \cos ^2 \theta |
- | $$I_{zz}^\ast = I_{yy} \sin ^2 \theta | + | $$I_{zz}^\odot = I_{yy} \sin ^2 \theta |
- | $$I_{yz}^\ast = \left( I_{zz} - I_{yy} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{zz} - I_{yy}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$ | + | $$I_{yz}^\odot = \left( I_{yy} - I_{zz} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$ |
+ | |||
+ | E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, | ||
+ | |||
+ | Imponendo l' | ||
+ | |||
+ | $$\tan 2 \theta_{\eta} = \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}} \Longrightarrow \theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$ | ||
+ | |||
+ | in cui $\theta_{\eta}$ è l' | ||
+ | |||
+ | Il sistema di riferimento $\mathbf{\eta} O \mathbf{\zeta}$ così individuato è detto // | ||
+ | |||
+ | $$I_{\eta \eta} = I_{yy} \cos ^2 \theta_{\eta} - 2 I_{yz} \sin \theta_{\eta} \cos \theta_{\eta} + I_{zz} \sin ^2 \theta_{\eta}$$ | ||
+ | |||
+ | che con semplici nozioni di trigonometria può essere riscritta nella forma | ||
+ | |||
+ | $$I_{\eta \eta} = I_{yy} \frac{1 + \cos 2 \theta_{\eta} }{2} - I_{yz} \sin 2 \theta_{\eta} + I_{zz} \frac{1 - \cos 2 \theta_{\eta} }{2} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} | ||
+ | |||
+ | Ricorrendo alla relazione trovata per $\tan 2 \theta_{\eta}$, | ||
+ | |||
+ | $$I_{\eta \eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \tan 2 \theta_{\eta} \sin 2 \theta_{\eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}}$$ | ||
- | E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, | + | Poiché |
- | Imponendo questa condizione otteniamo | + | $$\frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \tan^2 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \frac{4 I_{yz}^2}{\left( I_{zz} - I_{yy} \right)^2 } } $$ |
- | $$\theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$ | + | possiamo scrivere infine |
- | Il sistema di riferimento così individuato è detto principale di inerzia ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia. | + | $$I_{\eta\eta} = |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2} | ||
+ | \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2} | ||
+ | \end{cases}$$ | ||
- | Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, | + | Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, |
===== Formule applicative ===== | ===== Formule applicative ===== |
scienza_costruzioni/geometria_delle_aree.1362819489.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)