scienza_costruzioni:geometria_delle_aree
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scienza_costruzioni:geometria_delle_aree [2013/11/06 10:25] mickele [Geometria delle aree] |
scienza_costruzioni:geometria_delle_aree [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Geometria delle aree ====== | ||
- | |||
- | La geometria delle aree non è un argomento di per sé correlato con la teoria dell' | ||
- | =====Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale===== | ||
- | |||
- | |||
- | Sia $\mathbf{r}$ il vettore posizione di un punto $P$ di una figura geometrica. Il vettore $\mathbf{r}$ è definito | ||
- | |||
- | $$\mathbf{r} = \left( \begin{matrix} | ||
- | y \\\\ | ||
- | z | ||
- | \end{matrix} \right)$$ | ||
- | |||
- | Se trasliamo il sistema di riferimento secondo il vettore $\mathbf{r_0}$, | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{r^\nearrow} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} = | ||
- | \left( \begin{matrix} | ||
- | y \\\\ | ||
- | z \end{matrix} \right) - | ||
- | \left( \begin{matrix} | ||
- | y_0 \\\\ | ||
- | z_0 \end{matrix} \right)$$ | ||
- | |||
- | Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo < | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{r^\odot} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{N} = | ||
- | \begin{bmatrix} | ||
- | \cos \theta & \sin \theta \\\\ | ||
- | - \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | è chiamata matrice di rotazione. | ||
- | |||
- | =====Area di una sezione===== | ||
- | |||
- | Definiamo area di una porzione del piano $S$ l' | ||
- | |||
- | $$A = \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$ | ||
- | |||
- | |||
- | =====Momenti statici di una sezione===== | ||
- | |||
- | Definiamo il vettore dei momenti statici di una porzione di piano $S$ come segue | ||
- | |||
- | $$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix} | ||
- | S_z \\\\ | ||
- | S_y \end{matrix} \right) = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \left( \begin{matrix} | ||
- | \iint\limits_S y \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \\\\ | ||
- | \iint\limits_S z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{matrix} \right)$$ | ||
- | |||
- | Traslando il sistema di riferimento, | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{s^{\nearrow}} = \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow } \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$ | ||
- | |||
- | Da tale espressione vediamo che è possibile individuare un punto $G$ rispetto al quale si annulla il vettore dei momenti statici. | ||
- | |||
- | $$\mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0} = \mathbf{0} \Longrightarrow \mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$ | ||
- | |||
- | Il punto $G$ individuato dal vettore $\mathbf{r_G}$ è detto // | ||
- | |||
- | Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece | ||
- | |||
- | $$\mathbf{s^{\odot}} = \iint\limits_S \mathbf{r^{\odot}} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \mathbf{N} \, \mathbf{s}$$ | ||
- | |||
- | =====Momenti di inerzia di una sezione===== | ||
- | |||
- | Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione | ||
- | |||
- | $$\mathbf{I} = | ||
- | \begin{bmatrix} I_{zz} & I_{yz}\\\\ | ||
- | I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S \left( r \right) \left( r \right)^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\ | ||
- | \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | Notiamo che la matrice associata al tensore $\mathbf{I}$ è simmetrica. | ||
- | |||
- | Nella suddetta definizione è stata introdotta l' | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left( r\right) \left( r\right )^T = | ||
- | \begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, | ||
- | |||
- | * è possibile individuare una coppia di vettori $\mathbf{r}$ $\mathbf{s}$ per i quali | ||
- | $$\mathbf{r} \otimes \mathbf{s} \ne \mathbf{s} \otimes \mathbf{r}$$ | ||
- | * per qualsiasi terna di vettori \mathbf{r}, \mathbf{s}, \mathbf{t} | ||
- | $$\mathbf{r} \otimes \left( \mathbf{s} + \mathbf{t} \right) = \mathbf{r} \otimes \mathbf{s} + \mathbf{r} \otimes \mathbf{t}$$ | ||
- | |||
- | $$\left( \mathbf{r} + \mathbf{s} \right) \otimes \mathbf{t} = \mathbf{r} \otimes \mathbf{t} + \mathbf{s} \otimes \mathbf{t}$$ | ||
- | |||
- | Traslando il sistema di riferimento, | ||
- | |||
- | $$\mathbf{I^\nearrow } = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow } \otimes \mathbf{r^\nearrow } \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \\ | ||
- | \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) - | ||
- | \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) \otimes \mathbf{r_0} - | ||
- | \mathbf{r_0} \otimes \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) + | ||
- | \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \left( \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right)$$ | ||
- | |||
- | relazione che può essere scritta nella forma più compatta | ||
- | |||
- | $$\mathbf{I^\nearrow} = | ||
- | \mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$ | ||
- | |||
- | In forma esplicita otteniamo | ||
- | |||
- | $$I_{zz}^\nearrow = | ||
- | I_{zz} - 2 \, y_0 \, S_{z} + A \, y_0^2$$ | ||
- | |||
- | $$I_{yy}^\nearrow = | ||
- | I_{yy} - 2 \, z_0 \, S_{y} + A \, z_0^2$$ | ||
- | |||
- | $$I_{yz}^\nearrow = | ||
- | I_{yz} - y_0 \, S_{y} - z_0 \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$ | ||
- | |||
- | Se la traslazione avviene rispetto ad un sistema baricentrico ($\mathbf{s} = \mathbf{0}$), | ||
- | |||
- | $$\mathbf{I^\nearrow} = | ||
- | \mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$ | ||
- | |||
- | usualmente denominata //legge di Huygens//. | ||
- | |||
- | Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece | ||
- | |||
- | $$ I^\odot = \iint\limits_S \mathbf{r^\odot} \otimes \mathbf{r^\odot} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$ | ||
- | |||
- | Dalla definizione di prodotto diadico sopra riportato otteniamo facilmente che | ||
- | |||
- | $$(\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) = \mathbf{N} ( \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \mathbf{N^T}$$ | ||
- | |||
- | e quindi la relazione precedente diventa | ||
- | |||
- | $$ I^\odot = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$ | ||
- | |||
- | Esplicitando le relazioni otteniamo | ||
- | |||
- | $$I_{yy}^\odot = I_{yy} \cos ^2 \theta - 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \sin ^2 \theta$$ | ||
- | $$I_{zz}^\odot = I_{yy} \sin ^2 \theta + 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \cos ^2 \theta$$ | ||
- | $$I_{yz}^\odot = \left( I_{yy} - I_{zz} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$ | ||
- | |||
- | E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, | ||
- | |||
- | Imponendo l' | ||
- | |||
- | $$\tan 2 \theta_{\eta} = \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}} \Longrightarrow \theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$ | ||
- | |||
- | in cui $\theta_{\eta}$ è l' | ||
- | |||
- | Il sistema di riferimento $\mathbf{\eta} O \mathbf{\zeta}$ così individuato è detto // | ||
- | |||
- | $$I_{\eta \eta} = I_{yy} \cos ^2 \theta_{\eta} - 2 I_{yz} \sin \theta_{\eta} \cos \theta_{\eta} + I_{zz} \sin ^2 \theta_{\eta}$$ | ||
- | |||
- | che con semplici nozioni di trigonometria può essere riscritta nella forma | ||
- | |||
- | $$I_{\eta \eta} = I_{yy} \frac{1 + \cos 2 \theta_{\eta} }{2} - I_{yz} \sin 2 \theta_{\eta} + I_{zz} \frac{1 - \cos 2 \theta_{\eta} }{2} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} | ||
- | |||
- | Ricorrendo alla relazione trovata per $\tan 2 \theta_{\eta}$, | ||
- | |||
- | $$I_{\eta \eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \tan 2 \theta_{\eta} \sin 2 \theta_{\eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}}$$ | ||
- | |||
- | Poiché | ||
- | |||
- | $$\frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \tan^2 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \frac{4 I_{yz}^2}{\left( I_{zz} - I_{yy} \right)^2 } } $$ | ||
- | |||
- | possiamo scrivere infine | ||
- | |||
- | $$I_{\eta\eta} = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2} | ||
- | \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2} | ||
- | \end{cases}$$ | ||
- | |||
- | Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, | ||
- | |||
- | ===== Formule applicative ===== | ||
- | |||
- | Si rimanda alla pagina [[Scienza costruzioni: | ||
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scienza_costruzioni/geometria_delle_aree.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)