scienza_costruzioni:geometria_delle_aree
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scienza_costruzioni:geometria_delle_aree [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Geometria delle aree ====== | ||
- | |||
- | =====Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale===== | ||
- | |||
- | |||
- | Sia $\mathbf{r}$ il vettore posizione così definito | ||
- | |||
- | $$\mathbf{r} = \left( \begin{matrix} | ||
- | y \\\\ | ||
- | z | ||
- | \end{matrix} \right)$$ | ||
- | |||
- | Otteniamo il vettore posizione $\mathbf{r^\prime}$ nel sistema di riferimento traslato mediante | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{r^\prime} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} = | ||
- | \left( \begin{matrix} | ||
- | y \\\\ | ||
- | z \end{matrix} \right) - | ||
- | \left( \begin{matrix} | ||
- | y_0 \\\\ | ||
- | z_0 \end{matrix} \right)$$ | ||
- | |||
- | $\mathbf{r_0}$ individua il centro del sistema di riferimento traslato nel sistema di riferimento di partenza. | ||
- | |||
- | Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo < | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{r^\ast} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{N} = | ||
- | \begin{bmatrix} | ||
- | \cos \theta & \sin \theta \\\\ | ||
- | - \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | è chiamata matrice di rotazione. | ||
- | |||
- | =====Area di una sezione===== | ||
- | |||
- | $$A = \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$ | ||
- | |||
- | |||
- | =====Momenti statici di una sezione===== | ||
- | |||
- | Definiamo il vettore dei momenti statici di una sezione come segue | ||
- | |||
- | $$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix} | ||
- | S_z \\\\ | ||
- | S_y \end{matrix} \right) = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \left( \begin{matrix} | ||
- | \iint\limits_S y \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \\\\ | ||
- | \iint\limits_S z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{matrix} \right)$$ | ||
- | |||
- | Traslando il sistema di riferimento, | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{s^\prime} = \iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$ | ||
- | |||
- | Nel punto individuato dal vettore posizione | ||
- | |||
- | $$\mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$ | ||
- | |||
- | il vettore dei momenti statici si annulla. Tale punto è detto baricentro. | ||
- | |||
- | Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece | ||
- | |||
- | $$\mathbf{s^\ast} = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \mathbf{N} \, \mathbf{s}$$ | ||
- | |||
- | =====Momenti di inerzia di una sezione===== | ||
- | |||
- | Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione come segue | ||
- | |||
- | $$\mathbf{I} = | ||
- | \begin{bmatrix} I_{zz} & I_{yz}\\\\ | ||
- | I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\\\ | ||
- | \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | in cui l' | ||
- | |||
- | $$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T = | ||
- | \begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | è detta prodotto diadico. Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, | ||
- | |||
- | Traslando il sistema di riferimento, | ||
- | |||
- | $$\mathbf{I^\prime} = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \otimes \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - | ||
- | \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \otimes \mathbf{r_0} - | ||
- | \mathbf{r_0} \otimes \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + | ||
- | \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =$$ | ||
- | |||
- | e infine | ||
- | |||
- | $$\mathbf{I^\prime} = | ||
- | \mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$ | ||
- | |||
- | In forma esplicita otteniamo | ||
- | |||
- | $$I_{zz}^\prime = | ||
- | I_{zz} - 2 \, y_0 \, S_{z} + A \, y_0^2$$ | ||
- | |||
- | $$I_{yy}^\prime = | ||
- | I_{yy} - 2 \, z_0 \, S_{y} + A \, z_0^2$$ | ||
- | |||
- | $$I_{yz}^\prime = | ||
- | I_{yz} - y_0 \, S_{y} - z_0 \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$ | ||
- | |||
- | Se il sistema di riferimento di partenza è baricentrico, | ||
- | |||
- | $$\mathbf{I^\prime} = | ||
- | \mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$ | ||
- | |||
- | usualmente denominata legge di Huzgens. | ||
- | |||
- | Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece | ||
- | |||
- | $$ I^\ast = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \otimes \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = | ||
- | \iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$ | ||
- | |||
- | Dalla definizione di prodotto diadico sopra riportato otteniamo facilmente che | ||
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- | $$(\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) = \mathbf{N} ( \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \mathbf{N^T}$$ | ||
- | |||
- | e quindi la relazione precedente diventa | ||
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- | $$ I^\ast = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$ | ||
- | |||
- | Esplicitando le relazioni otteniamo | ||
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- | $$I_{yy}^\ast = I_{yy} \cos ^2 \theta + 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \sin ^2 \theta$$ | ||
- | $$I_{zz}^\ast = I_{yy} \sin ^2 \theta - 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \cos ^2 \theta$$ | ||
- | $$I_{yz}^\ast = \left( I_{zz} - I_{yy} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{zz} - I_{yy}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$ | ||
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- | E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, | ||
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- | Imponendo questa condizione otteniamo | ||
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- | $$\theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$ | ||
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- | Il sistema di riferimento così individuato è detto principale di inerzia ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia. | ||
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- | Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, | ||
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- | ===== Formule applicative ===== | ||
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- | Si rimanda alla pagina [[Scienza costruzioni: | ||
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scienza_costruzioni/geometria_delle_aree.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)