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--- scienza_costruzioni:esercizi:trave_appoggiata_carico_distribuito [2015/07/07 09:23]
mickele
+++ scienza_costruzioni:esercizi:trave_appoggiata_carico_distribuito [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Trave appoggiata con carico distribuito ======
+====== Trave appoggiata con carico distribuito centrale ======
+Calcoliamo le caratteristiche di sollecitazione di una trave semplicemente appoggiata cui viene applicato un carico distribuito centralmente.
+{{svg>scienza costruzioni:esercizi:trave_appoggiata_carico_distribuito.svg}}
+Imponendo l'equilibrio a rotazione otteniamo le reazioni vincolari
 $$V_B \, l_{tot} - q \, l_2 \, \left( l_1 + \frac{l_2}{2} \right) = 0 $$
@@ Linea 6: / Linea 12: @@
 $$V_A = q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right)$$
+Note le reazioni vincolari passiamo al calcolo del momento, analizzando, nei tre tratti in cui si suddivide la trave, l'equilibrio a rotazione
+$$M(x) - V_A \, x = 0$$
 $$M(x) - V_A \, x + q \, \frac{\left( x - l_1\right)^2 }{2} = 0$$
-$$M(x) = q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right) x - q \, \frac{x^2 - 2 l_1 \, x + l_1^2 }{2}$$
+$$M(x) - V_A \, x + q \, l_2 \left( x - l_1 - \frac{l_2}{2} \right) = 0$$
+Svolgendo i calcoli otteniamo
+$$M(x) =
+\begin{cases}
+q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right) x & 0 < x < l_1 \\
+- \frac{q}{2} x^2 + q \, \left( \frac{l_2 \, l_3}{l_{tot}} + \frac{l_2^2}{2 \, l_{tot}} + l_1 \right) x - \frac{q}{2} l_1^2  & l_1 < x < l_2\\
+q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right) \, x - q \, l_2 \left( x - l_1 - \frac{l_2}{2} \right) & l_2 < x < l_3
+\end{cases}
+$$
+Derivando il momento otteniamo il taglio
+$$T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} =
+\begin{cases}
+q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right) & 0 < x < l_1 \\
+- q \, x + q \, \left( \frac{l_2 \, l_3}{l_{tot}} + \frac{l_2^2}{2 \, l_{tot}} + l_1 \right)  & l_1 < x < l_2\\
+- q \frac{l_2}{l_{tot}} \left( l_1 + \frac{l_2}{2} \right)  & l_2 < x < l_3
+\end{cases}
+$$
+Per trovare il punto in cui il momento è massimo imponiamo l'annullamento del taglio
+$$x_{Mmax} = \frac{l_2 \, l_3}{l_{tot}} + \frac{l_2^2}{2 \, l_{tot}} + l_1 $$
+Sostituendo nell'espressione del momento otteniamo il momento massimo, che quindi sarà pari a
+$$M_{max} = \frac{q}{2} \left( \frac{l_2 \, l_3}{l_{tot}} + \frac{l_2^2}{2 \, l_{tot}} + l_1 \right) ^2 - \frac{q}{2} l_1^2 $$

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