Calcoliamo le caratteristiche di sollecitazione di una trave semplicemente appoggiata cui viene applicato un carico distribuito centralmente.

scienza costruzioni:esercizi:trave_appoggiata_carico_distribuito.svg

Imponendo l'equilibrio a rotazione otteniamo le reazioni vincolari

$$V_B \, l_{tot} - q \, l_2 \, \left( l_1 + \frac{l_2}{2} \right) = 0 $$

$$V_B = q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_1 + \frac{l_2}{2} \right)$$

$$V_A = q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right)$$

Note le reazioni vincolari passiamo al calcolo del momento, analizzando, nei tre tratti in cui si suddivide la trave, l'equilibrio a rotazione

$$M(x) - V_A \, x = 0$$

$$M(x) - V_A \, x + q \, \frac{\left( x - l_1\right)^2 }{2} = 0$$

$$M(x) - V_A \, x + q \, l_2 \left( x - l_1 - \frac{l_2}{2} \right) = 0$$

Svolgendo i calcoli otteniamo

$$M(x) = \begin{cases} q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right) x & 0 < x < l_1 \\ - \frac{q}{2} x^2 + q \, \left( \frac{l_2 \, l_3}{l_{tot}} + \frac{l_2^2}{2 \, l_{tot}} + l_1 \right) x - \frac{q}{2} l_1^2 & l_1 < x < l_2\\ q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right) \, x - q \, l_2 \left( x - l_1 - \frac{l_2}{2} \right) & l_2 < x < l_3 \end{cases} $$

Derivando il momento otteniamo il taglio

$$T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = \begin{cases} q \, \frac{l_2}{l_{tot}} \, \left( l_3 + \frac{l_2}{2} \right) & 0 < x < l_1 \\ - q \, x + q \, \left( \frac{l_2 \, l_3}{l_{tot}} + \frac{l_2^2}{2 \, l_{tot}} + l_1 \right) & l_1 < x < l_2\\ - q \frac{l_2}{l_{tot}} \left( l_1 + \frac{l_2}{2} \right) & l_2 < x < l_3 \end{cases} $$

Per trovare il punto in cui il momento è massimo imponiamo l'annullamento del taglio

$$x_{Mmax} = \frac{l_2 \, l_3}{l_{tot}} + \frac{l_2^2}{2 \, l_{tot}} + l_1 $$

Sostituendo nell'espressione del momento otteniamo il momento massimo, che quindi sarà pari a

$$M_{max} = \frac{q}{2} \left( \frac{l_2 \, l_3}{l_{tot}} + \frac{l_2^2}{2 \, l_{tot}} + l_1 \right) ^2 - \frac{q}{2} l_1^2 $$