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mickele [Equazione dell'equilibrio dinamico]
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@@ Linea 12: / Linea 12: @@
 L'energia cinetica del nostro sistema è data da
-<m>E=1/2 delim{lbrace}{dx/dt}{rbrace}^T delim{[}{M}{]} delim{lbrace}{dx/dt}{rbrace}</m>
+$$E_c= \frac{1}{2} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x} \right)^T \boldsymbol{M} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x}\ge 0 $$
-Poiché l'energia cinetica deve essere sempre positiva, la matrice <m>delim{[}{M}{]}</m> è definita positiva.
+Poiché l'energia cinetica deve essere sempre positiva, la matrice $\boldsymbol{M}$ è definita positiva.
 Analogamente l'energia potenziale elastica del nostro sistema è data da
-<m>U=1/2 delim{lbrace}{x}{rbrace}^T delim{[}{K}{]} delim{lbrace}{x}{rbrace}</m>
+$$U_{el} = \frac{1}{2} \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{K} \boldsymbol{x} \ge 0$$
-quindi anche la matrice <m>delim{[}{K}{]}</m> è definita positiva.
+quindi anche la matrice $\boldsymbol{K}$ è definita positiva.
-Per dimostrare la simmetria della matrice <m>delim{[}{M}{]}</m> consideriamo la nostra struttura in due configurazioni, una prima soggetta a spostamenti nodali tutti nulli, tranne lo spostamento i-esimo
+Per dimostrare la simmetria della matrice $\boldsymbol{M}$ consideriamo la nostra struttura in due configurazioni, una prima soggetta a spostamenti nodali tutti nulli, tranne lo spostamento i-esimo
-<m>delim{lbrace}{matrix{5}{1}{0 vdots {eta_i} vdots 0}}{rbrace}</m>
+$$\left( \begin{matrix}
+ \\
+\vdots \\
+\\
+\eta_i \\
+\\
+\vdots \\
+
+\end{matrix} \right) $$
 ed una seconda soggetta a spostamenti nodali tutti nulli tranne il j-esimo
-<m>delim{lbrace}{matrix{5}{1}{0 vdots {eta_j} vdots 0}}{rbrace}</m>
+$$\left( \begin{matrix}
+ \\
+\vdots \\
+\\
+\eta_j \\
+\\
+\vdots \\
+
+\end{matrix} \right) $$
 Applicando il teorema di reciprocità o di Betti-Maxwell abbiamo che
-<m>{F_j} {eta_j} = {F_i} {eta_i}</m>
+$${F_j} {\eta_j} = {F_i} {\eta_i}$$
 che passando attraverso la matrice di rigidezza diventa
-<m>k_{j,i} {eta_{i}} {eta_j} = k_{i,j} {eta_j} {eta_i}</m>
+$$k_{j,i} {\eta_{i}} {\eta_j} = k_{i,j} {\eta_j} {\eta_i}$$
 da cui infine
-<m>k_{j,i} = k_{i,j}</m>
+$$k_{j,i} = k_{i,j}$$
-che dimostra la simmetria della matrice di rigidezza.
+che dimostra la simmetria della matrice di rigidezza $\boldsymbol{K}$.

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