Lo stato di equilibrio dinamico di un sistema elastico lineare ad $n$ gradi di libertà viene descritto attraverso il seguente sistema di equazioni differenziali

$$\boldsymbol{M} \, \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{C} \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{K} \, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{f}(t)$$

L'energia cinetica del nostro sistema è data da

<m>E=1/2 delim{lbrace}{dx/dt}{rbrace}^T delim{[}{M}{]} delim{lbrace}{dx/dt}{rbrace}</m>

Poiché l'energia cinetica deve essere sempre positiva, la matrice <m>delim{[}{M}{]}</m> è definita positiva.

Analogamente l'energia potenziale elastica del nostro sistema è data da

<m>U=1/2 delim{lbrace}{x}{rbrace}^T delim{[}{K}{]} delim{lbrace}{x}{rbrace}</m>

quindi anche la matrice <m>delim{[}{K}{]}</m> è definita positiva.

Per dimostrare la simmetria della matrice <m>delim{[}{M}{]}</m> consideriamo la nostra struttura in due configurazioni, una prima soggetta a spostamenti nodali tutti nulli, tranne lo spostamento i-esimo

<m>delim{lbrace}{matrix{5}{1}{0 vdots {eta_i} vdots 0}}{rbrace}</m>

ed una seconda soggetta a spostamenti nodali tutti nulli tranne il j-esimo

<m>delim{lbrace}{matrix{5}{1}{0 vdots {eta_j} vdots 0}}{rbrace}</m>

Applicando il teorema di reciprocità o di Betti-Maxwell abbiamo che

<m>{F_j} {eta_j} = {F_i} {eta_i}</m>

che passando attraverso la matrice di rigidezza diventa

<m>k_{j,i} {eta_{i}} {eta_j} = k_{i,j} {eta_j} {eta_i}</m>

da cui infine

<m>k_{j,i} = k_{i,j}</m>

che dimostra la simmetria della matrice di rigidezza.