scienza_costruzioni:dinamica_strutture:oscillatore_a_piu_gradi_di_liberta
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Linea 3: | Linea 3: | ||
===== Equazione dell' | ===== Equazione dell' | ||
- | Lo stato di equilibrio dinamico di un sistema elastico lineare ad <m>n</ | + | Lo stato di equilibrio dinamico di un sistema elastico lineare ad $n$ gradi di libertà viene descritto attraverso il seguente sistema di equazioni differenziali |
- | < | + | $$\boldsymbol{M} \, \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{C} \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{K} \, \boldsymbol{x} = |
+ | \boldsymbol{f}(t)$$ | ||
===== Proprietà delle matrici [M] e [K]===== | ===== Proprietà delle matrici [M] e [K]===== | ||
Linea 11: | Linea 12: | ||
L' | L' | ||
- | <m>E=1/2 delim{lbrace}{dx/dt}{rbrace}^T delim{[}{M}{]} delim{lbrace}{dx/dt}{rbrace}</m> | + | $$E_c= \frac{1}{2} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x} \right)^T \boldsymbol{M} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x}\ge 0 $$ |
- | Poiché l' | + | Poiché l' |
Analogamente l' | Analogamente l' | ||
- | <m>U=1/2 delim{lbrace}{x}{rbrace}^T delim{[}{K}{]} delim{lbrace}{x}{rbrace}</ | + | $$U_{el} |
- | quindi anche la matrice | + | quindi anche la matrice |
- | Per dimostrare la simmetria della matrice | + | Per dimostrare la simmetria della matrice |
- | < | + | $$\left( \begin{matrix} |
+ | 0 \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | \eta_i \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | 0 | ||
+ | \end{matrix} \right) $$ | ||
ed una seconda soggetta a spostamenti nodali tutti nulli tranne il j-esimo | ed una seconda soggetta a spostamenti nodali tutti nulli tranne il j-esimo | ||
- | < | + | $$\left( \begin{matrix} |
+ | 0 \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | \eta_j \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | 0 | ||
+ | \end{matrix} \right) $$ | ||
Applicando il teorema di reciprocità o di Betti-Maxwell abbiamo che | Applicando il teorema di reciprocità o di Betti-Maxwell abbiamo che | ||
- | <m>{F_j} {eta_j} = {F_i} {eta_i}</m> | + | $${F_j} {\eta_j} = {F_i} {\eta_i}$$ |
che passando attraverso la matrice di rigidezza diventa | che passando attraverso la matrice di rigidezza diventa | ||
- | <m>k_{j,i} {eta_{i}} {eta_j} = k_{i,j} {eta_j} {eta_i}</m> | + | $$k_{j,i} {\eta_{i}} {\eta_j} = k_{i,j} {\eta_j} {\eta_i}$$ |
da cui infine | da cui infine | ||
- | <m>k_{j,i} = k_{i,j}</m> | + | $$k_{j,i} = k_{i,j}$$ |
- | che dimostra la simmetria della matrice di rigidezza. | + | che dimostra la simmetria della matrice di rigidezza |
scienza_costruzioni/dinamica_strutture/oscillatore_a_piu_gradi_di_liberta.1354472157.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)