Lo stato di equilibrio dinamico di un sistema elastico lineare ad <m>n</m> gradi di libertà viene descritto attraverso il seguente sistema di equazioni differenziali

<m>delim{[}{M}{]} ~ {d^2}/{dt^2} delim{lbrace}{x}{rbrace} + delim{[}{C}{]} ~ {d}/{dt} delim{lbrace}{x}{rbrace} + delim{[}{K}{]} ~ delim{lbrace}{x}{rbrace} = delim{lbrace}{f(t)}{rbrace}</m>

L'energia cinetica del nostro sistema è data da

<m>E=1/2 delim{lbrace}{dx/dt}{rbrace}^T delim{[}{M}{]} delim{lbrace}{dx/dt}{rbrace}</m>

Poiché l'energia cinetica deve essere sempre positiva, la matrice <m>delim{[}{M}{]}</m> è definita positiva.

Analogamente l'energia potenziale elastica del nostro sistema è data da

<m>U=1/2 delim{lbrace}{x}{rbrace}^T delim{[}{K}{]} delim{lbrace}{x}{rbrace}</m>

quindi anche la matrice <m>delim{[}{K}{]}</m> è definita positiva.

Per dimostrare la simmetria della matrice <m>delim{[}{M}{]}</m> consideriamo la nostra struttura in due configurazioni, una prima soggetta a spostamenti nodali tutti nulli, tranne lo spostamento i-esimo

<m>delim{lbrace}{matrix{5}{1}{0 vdots {eta_i} vdots 0}}{rbrace}</m>

ed una seconda soggetta a spostamenti nodali tutti nulli tranne il j-esimo

<m>delim{lbrace}{matrix{5}{1}{0 vdots {eta_j} vdots 0}}{rbrace}</m>

Applicando il teorema di reciprocità o di Betti-Maxwell abbiamo che

<m>{F_j} {eta_j} = {F_i} {eta_i}</m>

che passando attraverso la matrice di rigidezza diventa

<m>k_{j,i} {eta_{i}} {eta_j} = k_{i,j} {eta_j} {eta_i}</m>

da cui infine

<m>k_{j,i} = k_{i,j}</m>

che dimostra la simmetria della matrice di rigidezza.