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mickele
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@@ Linea 11: / Linea 11: @@
 $${\bf r}_Q = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{matrix} \right) = {\bf r} + \mathrm{d} {\bf r}$$
-Il vettore $\mathrm{d} \mathbf{r}$ individua la distanza tra i punti $P$ e $Q$.
+Il vettore $\mathrm{d} \mathbf{r}$ è la distanza tra i punti $P$ e $Q$.
 A seguito dell'applicazione delle forze esterne, i punti $P$ e $Q$ si trasformano nei punti $P'$ e $Q'$. Chiamiamo $\boldsymbol{eta}( x,y,z )$ la funzione vettoriale che individua lo spostamento di ciascun punto del nostro solido deformabile.
@@ Linea 17: / Linea 17: @@
 $$\boldsymbol{\eta}( x,y,z ) = \left( \begin{matrix} u(x,y,z) \\ v(x,y,z) \\ w(x,y,z) \end{matrix} \right)$$
-Indichiamo con $\boldsymbol{\eta}_P$ il valore della funzione nel punto $P$. Per calcolare $\eta_Q$, approssimeremo la funzione $\boldsymbol{eta}$ al suo sviluppo in serie di Taylor del primo ordine valutato nel punto $P$ , ottenendo
+Indichiamo con $\boldsymbol{\eta}_P$ il valore della funzione nel punto $P$. Per calcolare $\eta_Q$, approssimeremo la funzione $\boldsymbol{eta}$ al suo sviluppo in serie di Taylor valutato nel punto $P$ troncato al primo ordine, ottenendo
 $$\boldsymbol{\eta}_Q = \boldsymbol{\eta}_P + \boldsymbol{J}_{\eta,P} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$$
@@ Linea 73: / Linea 73: @@
 ===== Rotazione del sistema di riferimento  =====
-Supponiamo di voler cambiare il sistema di riferimento rispetto al quale definiamo il nostro corpo deformabile. In particolare ci concentriamo su cosa accade nel caso di una rotazione del sistema di riferimento. La rotazione del sistema di riferimento, con passaggio da un sistema di riferimento ortonormale $\Lambda$ ad un sistema $\Lambda'$, viene espresso dalla matrice $delim{[}{N}{]}$, tale per cui
+Supponiamo di voler cambiare il sistema di riferimento rispetto al quale definiamo il nostro corpo deformabile. In particolare ci concentriamo su cosa accade nel caso di una rotazione del sistema di riferimento. La rotazione del sistema di riferimento, con passaggio da un sistema di riferimento ortonormale $\Lambda$ ad un sistema $\Lambda'$, viene espresso dalla matrice $\boldsymbol{N}$, tale per cui
-$$delim{lbrace}{r prime}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{r}{rbrace}$$
+$$\boldsymbol{r'} = \boldsymbol{N} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}$$
 Nel sistema $\Lambda$ avevamo
-$$delim{lbrace}{eta_Q}{rbrace} = delim{lbrace}{eta_P}{rbrace} + delim{[}{phi}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace} + delim{[}{epsilon}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace}$$
+$$\boldsymbol{\eta}_Q = \boldsymbol{\eta}_P + \boldsymbol{\Phi} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} + \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$$
 A seguito della rotazione dei sistemi di riferimento, avremo
-$$delim{lbrace}{eta prime_Q}{rbrace} = delim{lbrace}{eta prime_P}{rbrace} + delim{[}{phi prime}{]} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace} + delim{[}{epsilon prime}{]} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace}$$
+$$\boldsymbol{\eta'}_Q = \boldsymbol{\eta'}_P + \boldsymbol{\Phi'} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'} + \boldsymbol{E'} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'}$$
-In particolare siamo interessati alla matrice $$delim{[}{epsilon prime}{]}$$.
+In particolare siamo interessati alla matrice $\boldsymbol{E'}$.
-Moltiplicando la precedente relazione per $$delim{[}{N}{]}$$ otteniamo
+Moltiplicando la precedente relazione per $\boldsymbol{N}$ otteniamo
-$$delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{eta_Q}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{eta_P}{rbrace} + delim{[}{N}{]} delim{[}{phi}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace} + delim{[}{N}{]} delim{[}{epsilon}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace}$$
+$$\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\eta}_Q =
+\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\eta}_P + \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\Phi} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} + \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}$$
 considerando che
-$$delim{lbrace}{eta prime_Q}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{eta_Q}{rbrace}$$
+$$\boldsymbol{\eta'}_Q = \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\eta}_Q$$
-$$delim{lbrace}{eta prime_P}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{eta_P}{rbrace}$$
+$$\boldsymbol{\eta'}_P = \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\eta}_P$$
 e che inoltre
-$$delim{lbrace}{dr prime}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace} doubleright delim{lbrace}{dr}{rbrace} = delim{[}{N}{]}^{-1} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace} doubleright delim{lbrace}{dr}{rbrace} = delim{[}{N}{]}^{T} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace}$$
+$$\mathrm{d}\boldsymbol{r'} = \boldsymbol{N} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} \Longrightarrow \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \boldsymbol{N}^{-1} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'} \Longrightarrow \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \boldsymbol{N}^{T} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'}$$
 possiamo scrivere
-$$delim{lbrace}{eta prime_Q}{rbrace} = delim{lbrace}{eta prime_P}{rbrace} + delim{[}{N}{]} delim{[}{phi}{]} delim{[}{N}{]}^{T} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace} + delim{[}{N}{]} delim{[}{epsilon}{]} delim{[}{N}{]}^{T} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace}$$
+$$\boldsymbol{\eta'}_Q = \boldsymbol{\eta'}_P + \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\Phi} \cdot \boldsymbol{N}^{T} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'} + \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{N}^{T} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'}$$
 Da cui infine
-$$delim{[}{epsilon prime}{]} = delim{[}{N}{]} delim{[}{epsilon}{]} delim{[}{N}{]}^{T}$$
+$$\boldsymbol{E'} = \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{N}^{T}$$
 ===== Direzioni principali della deformazione =====
-Ci domandiamo se è possibile individuare una direzione, individuata dal vettore $$delim{lbrace}{n}{rbrace}$$, alla quale viene associata una deformazione parallela al vettore stesso. Esprimendo questa condizione matematicamente abbiamo
+Ci domandiamo se è possibile individuare una direzione, individuata dal vettore $\boldsymbol{n}$, alla quale viene associata una deformazione parallela al vettore stesso. Esprimendo questa condizione matematicamente abbiamo
-$$delim{[}{\varepsilon}{]} delim{lbrace}{n}{rbrace} = epsilon_n delim{lbrace}{n}{rbrace}$$
+$$\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{n} = \varepsilon_n \boldsymbol{n}$$
-in cui $$\varepsilon_n \in bbR$$
+in cui $\varepsilon_n \in \mathbb{R}$
 La ricerca della suddetta direzione è un problema di ricerca di autovalori ed autovettori di una trasformazione lineare. Per risolverlo deve essere verificata l'equazione
-$$det (delim{[}{epsilon}{]} - epsilon_n delim{[}{I}{]} ) = delim{[}{matrix{3}{3}{(epsilon_x - epsilon_n) {1/2 gamma_{xy}} {1/2 gamma_{xz}} {1/2 gamma_{xy}} (epsilon_y-epsilon_n) {1/2 gamma_{yz}} {1/2 gamma_{xz}} {1/2 gamma_{yz}} (epsilon_z-epsilon_n)}}{]} = 0$$
+$$\det \left( \boldsymbol{E} - \varepsilon_n \boldsymbol{I} \right) =
+\begin{bmatrix} \left(\varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{xz} \\
+\frac{1}{2} \gamma_{xy} & \left(\varepsilon_y-\varepsilon_n\right) & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\
+\frac{1}{2} \gamma_{xz} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \left(\varepsilon_z-\varepsilon_n \right) \end{bmatrix} = 0$$
 che con semplici passaggi matematici possiamo riscrivere nella forma
-$$(epsilon_x - epsilon_n) delim{|}{matrix{2}{2}{(epsilon_y - epsilon_n)  {1/2 gamma_{yz}} {1/2 gamma_{yz}} (epsilon_z - epsilon_n)}}{|} + (epsilon_y - epsilon_n) delim{|}{matrix{2}{2}{(epsilon_x - epsilon_n)  {1/2 gamma_{xz}} {1/2 gamma_{xz}} (epsilon_z - epsilon_n)}}{|} + (epsilon_z - epsilon_n) delim{|}{matrix{2}{2}{(epsilon_x - epsilon_n)  {1/2 gamma_{xy}} {1/2 gamma_{xy}} (epsilon_y - epsilon_n)}}{|} = 0$$
+$$\left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix} +
+\left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xz} & \left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix} + \\
+\left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xy} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix}
+ = 0$$
 =====Equazioni di congruenza=====
-Gli spostamenti dei punti del solido elastico sono stati inizialmente descritti mediante una funzione vettoriale di tridimensione $$delim{lbrace} {eta}{rbrace}$$; al termine della nostra analisi siamo invece arrivati ad avere una matrice 3 x 3 $$delim{[}{epsilon}{]}$$ simmetrica cui possiamo associare una funzione vettoriale 6-dimensionale $$delim{lbrace}{epsilon}{rbrace}$$. Avendo aumentato i gradi di libertà del problema ci aspettiamo che tra le 6 funzioni reali che compongono il vettore $$delim{lbrace}{epsilon}{rbrace}$$ sussitano dei legami.
+Gli spostamenti dei punti del solido elastico sono stati inizialmente descritti mediante una funzione vettoriale di tridimensione $\boldsymbol{\eta}$; al termine della nostra analisi siamo invece arrivati ad avere una matrice $\boldsymbol{E}$ che è 3 x 3 e simmetrica e a cui possiamo associare una funzione vettoriale 6-dimensionale $\boldsymbol{\varepsilon}$. Avendo aumentato i gradi di libertà del problema ci aspettiamo che tra le 6 funzioni reali che compongono il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ sussistano dei legami.
-Per individuare tali relazioni è necessario derivare tre volte le funzioni che compongono il vettore $$delim{lbrace}{eta}{rbrace}$$, e due volte le funzioni che compongono il vettore $$delim{lbrace}{epsilon}{rbrace}$$.
+Per individuare tali relazioni è necessario derivare tre volte le funzioni che compongono il vettore $\boldsymbol{\eta}$, e due volte le funzioni che compongono il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$.
-Prima di calcolare tali relazioni facciamo alcune semplici considerazioni numeriche. Le derivate terze delle funzioni compnenti il vettore $$delim{lbrace} {eta}{rbrace}$$ sono 30. Le derivate seconde delle funzioni componenti il vettore $$delim{lbrace}{epsilon}{rbrace}$$ sono invece 36. Devono sussistere pertanto 6 (= 36 - 30) relazioni tra le funzioni del vettore $$delim{lbrace}{epsilon}{rbrace}$$.
+Prima di calcolare tali relazioni facciamo alcune semplici considerazioni numeriche. Le derivate terze delle funzioni che compongono il vettore $\boldsymbol{\eta}$ sono 30. Le derivate seconde delle funzioni componenti il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ sono invece 36. Devono sussistere pertanto 6 (= 36 - 30) relazioni tra le funzioni del vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$.
 Con semplici passaggi matematici osserviamo che
-$${partial^2 epsilon_x}/{partial y^2} + {partial^2 epsilon_y}/{partial x^2} = {partial^3 u}/{partial y^2 partial x} + {partial^3 v}/{partial x^2 partial y} = {partial^2}/{partial x partial y}({partial u}/{partial y} + {partial v}/{partial x}) = {partial^2 gamma_{xy}}/{partial x partial y}$$
+$$\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^3 u}{\partial y^2 \partial x} + \frac{\partial^3 v}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y}$$
-Considerazioni analoghe possono essere svolte per $$gamma_{xz}$$ e $$gamma_{yz}$$.
+Considerazioni analoghe possono essere svolte per $\gamma_{xz}$ e $\gamma_{yz}$.
 Per determinare le restanti tre relazioni osserviamo che
-$${partial gamma_{xy}}/{partial z} + {partial gamma_{xz}}/{partial y} - {partial gamma_{yz}}/{partial x} = {partial^2 u}/{partial y partial z} + {partial^2 v}/{partial x partial z} + {partial^2 u}/{partial y partial z} + {partial^2 w}/{partial x partial y} - {partial^2 v}/{partial x partial z} - {partial^2 w}/{partial x partial y} = 2 {partial^2 u}/{partial y partial z}$$
+$$\frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} = 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z}$$
 da cui
-$${partial}/{partial x} ({partial gamma_{xy}}/{partial z} + {partial gamma_{xz}}/{partial y} - {partial gamma_{yz}}/{partial x}) = 2 {partial^3 u}/{partial x partial y partial z} = 2 {partial^2 epsilon_x}/{partial y partial z}$$
+$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z}$$
 Analogamente si può procedere per $\varepsilon_{y}$ e $\varepsilon_{z}$
-Le sei relazioni cercate tra le derivate seconde dei componenti del vettore $delim{lbrace}{epsilon}{rbrace}$ sono pertanto
+Le sei relazioni cercate tra le derivate seconde dei componenti del vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ sono pertanto
 $$\begin{matrix} \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} \\
-\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xz}}{\partial x \partial z}
+\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xz}}{\partial x \partial z} \\
+\frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} \\
+\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} \right) \\
+\frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}-\frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} \right) \\
+\frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y}= \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right)
 \end{matrix} $$
-$$ {{partial^2 epsilon_y}/{partial z^2}+{partial^2 epsilon_z}/{partial y^2}={partial^2 gamma_{yz}}/{partial y partial z}} {2{partial^2 epsilon_x}/{partial y partial z}={partial}/{partial x}({partial gamma_{xz}}/{partial y}+{partial gamma_{xy}}/{partial z}-{partial gamma_{yz}}/{partial x})} {2{partial^2 epsilon_y}/{partial x partial y}={partial}/{partial y}({partial gamma_{yz}}/{partial x}+{partial gamma_{xy}}/{partial z}-{partial gamma_{xz}}/{partial y})} {2{partial^2 epsilon_z}/{partial x partial y}={partial}/{partial z}({partial gamma_{xy}}/{partial x}+{partial gamma_{xz}}/{partial y}-{partial gamma_{xy}}/{partial z})}}$$
+Tali equazioni sono dette di congruenza.
-Tali equazioni sono dette di congruenza o di compatibilità.

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