Si consideri un punto $P$ del nostro solido deformabile individuato dal vettore posizione

$${\bf r} = \left( \begin{matrix}x\\ y\\\\ z\\ \end{matrix} \right)$$

ed un punto $Q$ individuato dal vettore posizione

$${\bf r}_Q = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{matrix} \right) = {\bf r} + \mathrm{d} {\bf r}$$

Il vettore $\mathrm{d} \mathbf{r}$ è la distanza tra i punti $P$ e $Q$.

A seguito dell'applicazione delle forze esterne, i punti $P$ e $Q$ si trasformano nei punti $P'$ e $Q'$. Chiamiamo $\boldsymbol{eta}( x,y,z )$ la funzione vettoriale che individua lo spostamento di ciascun punto del nostro solido deformabile.

$$\boldsymbol{\eta}( x,y,z ) = \left( \begin{matrix} u(x,y,z) \\ v(x,y,z) \\ w(x,y,z) \end{matrix} \right)$$

Indichiamo con $\boldsymbol{\eta}_P$ il valore della funzione nel punto $P$. Per calcolare $\eta_Q$, approssimeremo la funzione $\boldsymbol{eta}$ al suo sviluppo in serie di Taylor valutato nel punto $P$ troncato al primo ordine, ottenendo

$$\boldsymbol{\eta}_Q = \boldsymbol{\eta}_P + \boldsymbol{J}_{\eta,P} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$$

in cui $\boldsymbol{J}_{\eta,P}$ è la matrice jacobiana della funzione $\boldsymbol{\eta}$ in P.

Con alcuni passaggi matematici possiamo esprimere $\boldsymbol{\eta}_Q$ nella forma

$$\boldsymbol{\eta}_Q - \boldsymbol{\eta}_P = \frac{1}{2} \left( \boldsymbol{J}_{\eta,P} - \boldsymbol{J}_{\eta,P}^T \right) \mathrm{d}\boldsymbol{r} + \frac{1}{2} \left( \boldsymbol{J}_{\eta,P} + \boldsymbol{J}_{\eta,P}^T \right) \mathrm{d}\boldsymbol{r}$$

L'espressione appena riportata indica la distanza tra i punti $P'$ e $Q'$ nel solido deformato. Analizzando i singoli termini che la compongono notiamo che:

• $\frac{1}{2} \left( \boldsymbol{J}_{\eta,P} - \boldsymbol{J}_{\eta,P}^T \right) \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\Phi} \, \mathrm{d}\boldsymbol{r}$ è una matrice antisimmetrica che, per piccoli valori degli spostamenti rappresenta la componente rotativa della trasformazione
• $\frac{1}{2} \left( {\bf J}_{\eta,P} + {\bf J}_{\eta,P}^T \right) \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \boldsymbol{E} \, \mathrm{d}\boldsymbol{r}$ è un matrice simmetrica che rappresenta la componente deformativa della trasformazione

Sviluppando i calcoli otteniamo che la matrice $\boldsymbol{E}$ è data da

$$\boldsymbol{E} = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) & \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) \\\\ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} \right) \\\\ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) & \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} \right) & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}$$

che con le posizioni

$$\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}$$

$$\varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}$$

$$\varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z}$$

$${\gamma_{xy}} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}$$

$${\gamma_{xz}} = \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}$$

$${\gamma_{yz}} = \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}$$

diventa

$$\boldsymbol{E} = \begin{bmatrix} \varepsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{xz} \\\\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \varepsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\\\ \frac{1}{2} \gamma_{xz} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \varepsilon_z \end{bmatrix} $$

La matrice $\boldsymbol{E}$, detta matrice di deformazione, ci permette di descrivere lo stato di deformazione nell'intorno del punto $P$.

Supponiamo di voler cambiare il sistema di riferimento rispetto al quale definiamo il nostro corpo deformabile. In particolare ci concentriamo su cosa accade nel caso di una rotazione del sistema di riferimento. La rotazione del sistema di riferimento, con passaggio da un sistema di riferimento ortonormale $\Lambda$ ad un sistema $\Lambda'$, viene espresso dalla matrice $\boldsymbol{N}$, tale per cui

$$\boldsymbol{r'} = \boldsymbol{N} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}$$

Nel sistema $\Lambda$ avevamo

$$\boldsymbol{\eta}_Q = \boldsymbol{\eta}_P + \boldsymbol{\Phi} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} + \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$$

A seguito della rotazione dei sistemi di riferimento, avremo

$$\boldsymbol{\eta'}_Q = \boldsymbol{\eta'}_P + \boldsymbol{\Phi'} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'} + \boldsymbol{E'} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'}$$

In particolare siamo interessati alla matrice $\boldsymbol{E'}$.

Moltiplicando la precedente relazione per $\boldsymbol{N}$ otteniamo

$$\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\eta}_Q = \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\eta}_P + \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\Phi} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} + \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}$$

considerando che

$$\boldsymbol{\eta'}_Q = \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\eta}_Q$$

$$\boldsymbol{\eta'}_P = \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\eta}_P$$

e che inoltre

$$\mathrm{d}\boldsymbol{r'} = \boldsymbol{N} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} \Longrightarrow \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \boldsymbol{N}^{-1} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'} \Longrightarrow \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \boldsymbol{N}^{T} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'}$$

possiamo scrivere

$$\boldsymbol{\eta'}_Q = \boldsymbol{\eta'}_P + \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{\Phi} \cdot \boldsymbol{N}^{T} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'} + \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{N}^{T} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r'}$$

Da cui infine

$$\boldsymbol{E'} = \boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{N}^{T}$$

Ci domandiamo se è possibile individuare una direzione, individuata dal vettore $\boldsymbol{n}$, alla quale viene associata una deformazione parallela al vettore stesso. Esprimendo questa condizione matematicamente abbiamo

$$\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{n} = \varepsilon_n \boldsymbol{n}$$

in cui $\varepsilon_n \in \mathbb{R}$

La ricerca della suddetta direzione è un problema di ricerca di autovalori ed autovettori di una trasformazione lineare. Per risolverlo deve essere verificata l'equazione

$$\det \left( \boldsymbol{E} - \varepsilon_n \boldsymbol{I} \right) = \begin{bmatrix} \left(\varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{xz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \left(\varepsilon_y-\varepsilon_n\right) & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xz} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \left(\varepsilon_z-\varepsilon_n \right) \end{bmatrix} = 0$$

che con semplici passaggi matematici possiamo riscrivere nella forma

$$\left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix} + \left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xz} & \left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix} + \\ \left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xy} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix} = 0$$

Gli spostamenti dei punti del solido elastico sono stati inizialmente descritti mediante una funzione vettoriale di tridimensione $\boldsymbol{\eta}$; al termine della nostra analisi siamo invece arrivati ad avere una matrice $\boldsymbol{E}$ che è 3 x 3 e simmetrica e a cui possiamo associare una funzione vettoriale 6-dimensionale $\boldsymbol{\varepsilon}$. Avendo aumentato i gradi di libertà del problema ci aspettiamo che tra le 6 funzioni reali che compongono il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ sussistano dei legami.

Per individuare tali relazioni è necessario derivare tre volte le funzioni che compongono il vettore $\boldsymbol{\eta}$, e due volte le funzioni che compongono il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$.

Prima di calcolare tali relazioni facciamo alcune semplici considerazioni numeriche. Le derivate terze delle funzioni che compongono il vettore $\boldsymbol{\eta}$ sono 30. Le derivate seconde delle funzioni componenti il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ sono invece 36. Devono sussistere pertanto 6 (= 36 - 30) relazioni tra le funzioni del vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$.

Con semplici passaggi matematici osserviamo che

$$\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^3 u}{\partial y^2 \partial x} + \frac{\partial^3 v}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y}$$

Considerazioni analoghe possono essere svolte per $\gamma_{xz}$ e $\gamma_{yz}$.

Per determinare le restanti tre relazioni osserviamo che

$$\frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} = 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z}$$

da cui

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z}$$

Analogamente si può procedere per $\varepsilon_{y}$ e $\varepsilon_{z}$

Le sei relazioni cercate tra le derivate seconde dei componenti del vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ sono pertanto

$$\begin{matrix} \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xz}}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} \\ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} \right) \\ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}-\frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} \right) \\ 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y}= \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) \end{matrix} $$

Tali equazioni sono dette di congruenza.