scienza_costruzioni:analisi_dello_stato_di_deformazione
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
scienza_costruzioni:analisi_dello_stato_di_deformazione [2013/06/28 23:10] mickele [Direzioni principali della deformazione] |
scienza_costruzioni:analisi_dello_stato_di_deformazione [2021/06/13 13:08] |
||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Analisi dello stato di deformazione ====== | ||
- | ===== Analisi dell' | ||
- | |||
- | Si consideri un punto $P$ del nostro solido deformabile individuato dal vettore posizione | ||
- | |||
- | $${\bf r} = \left( \begin{matrix}x\\ y\\\\ z\\ \end{matrix} \right)$$ | ||
- | |||
- | ed un punto $Q$ individuato dal vettore posizione | ||
- | |||
- | $${\bf r}_Q = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{matrix} \right) = {\bf r} + \mathrm{d} {\bf r}$$ | ||
- | |||
- | Il vettore $\mathrm{d} \mathbf{r}$ individua la distanza tra i punti $P$ e $Q$. | ||
- | |||
- | A seguito dell' | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\eta}( x,y,z ) = \left( \begin{matrix} u(x,y,z) \\ v(x,y,z) \\ w(x,y,z) \end{matrix} \right)$$ | ||
- | |||
- | Indichiamo con $\boldsymbol{\eta}_P$ il valore della funzione nel punto $P$. Per calcolare $\eta_Q$, approssimeremo la funzione $\boldsymbol{eta}$ al suo sviluppo in serie di Taylor del primo ordine valutato nel punto $P$ , ottenendo | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\eta}_Q = \boldsymbol{\eta}_P + \boldsymbol{J}_{\eta, | ||
- | |||
- | in cui $\boldsymbol{J}_{\eta, | ||
- | |||
- | Con alcuni passaggi matematici possiamo | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\eta}_Q - \boldsymbol{\eta}_P = \frac{1}{2} \left( \boldsymbol{J}_{\eta, | ||
- | |||
- | L' | ||
- | * $\frac{1}{2} \left( \boldsymbol{J}_{\eta, | ||
- | * $\frac{1}{2} \left( {\bf J}_{\eta,P} + {\bf J}_{\eta, | ||
- | |||
- | Sviluppando i calcoli otteniamo che la matrice $\boldsymbol{E}$ è data da | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{E} = | ||
- | \begin{bmatrix} | ||
- | \frac{\partial u}{\partial x} & | ||
- | \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) & | ||
- | \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) \\\\ | ||
- | \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) & | ||
- | \frac{\partial v}{\partial y} & | ||
- | \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} \right) \\\\ | ||
- | \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) & | ||
- | \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} \right) & | ||
- | \frac{\partial w}{\partial z} | ||
- | \end{bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | che con le posizioni | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}$$ | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}$$ | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z}$$ | ||
- | |||
- | $${\gamma_{xy}} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}$$ | ||
- | |||
- | $${\gamma_{xz}} = \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}$$ | ||
- | |||
- | $${\gamma_{yz}} = \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}$$ | ||
- | |||
- | diventa | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{E} = | ||
- | \begin{bmatrix} | ||
- | \varepsilon_x & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{xz} \\\\ | ||
- | \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \varepsilon_y & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\\\ | ||
- | \frac{1}{2} \gamma_{xz} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \varepsilon_z | ||
- | \end{bmatrix} $$ | ||
- | |||
- | La matrice $\boldsymbol{E}$, | ||
- | |||
- | ===== Rotazione del sistema di riferimento | ||
- | |||
- | Supponiamo di voler cambiare il sistema di riferimento rispetto al quale definiamo il nostro corpo deformabile. In particolare ci concentriamo su cosa accade nel caso di una rotazione del sistema di riferimento. La rotazione del sistema di riferimento, | ||
- | |||
- | $$delim{lbrace}{r prime}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{r}{rbrace}$$ | ||
- | |||
- | Nel sistema $\Lambda$ avevamo | ||
- | |||
- | $$delim{lbrace}{eta_Q}{rbrace} = delim{lbrace}{eta_P}{rbrace} + delim{[}{phi}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace} + delim{[}{epsilon}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace}$$ | ||
- | |||
- | A seguito della rotazione dei sistemi di riferimento, | ||
- | |||
- | $$delim{lbrace}{eta prime_Q}{rbrace} = delim{lbrace}{eta prime_P}{rbrace} + delim{[}{phi prime}{]} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace} + delim{[}{epsilon prime}{]} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace}$$ | ||
- | |||
- | In particolare siamo interessati alla matrice $$delim{[}{epsilon prime}{]}$$. | ||
- | |||
- | Moltiplicando la precedente relazione per $$delim{[}{N}{]}$$ otteniamo | ||
- | |||
- | $$delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{eta_Q}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{eta_P}{rbrace} + delim{[}{N}{]} delim{[}{phi}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace} + delim{[}{N}{]} delim{[}{epsilon}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace}$$ | ||
- | |||
- | considerando che | ||
- | |||
- | $$delim{lbrace}{eta prime_Q}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{eta_Q}{rbrace}$$ | ||
- | |||
- | $$delim{lbrace}{eta prime_P}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{eta_P}{rbrace}$$ | ||
- | |||
- | e che inoltre | ||
- | |||
- | $$delim{lbrace}{dr prime}{rbrace} = delim{[}{N}{]} delim{lbrace}{dr}{rbrace} doubleright delim{lbrace}{dr}{rbrace} = delim{[}{N}{]}^{-1} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace} doubleright delim{lbrace}{dr}{rbrace} = delim{[}{N}{]}^{T} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace}$$ | ||
- | |||
- | possiamo scrivere | ||
- | |||
- | $$delim{lbrace}{eta prime_Q}{rbrace} = delim{lbrace}{eta prime_P}{rbrace} + delim{[}{N}{]} delim{[}{phi}{]} delim{[}{N}{]}^{T} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace} + delim{[}{N}{]} delim{[}{epsilon}{]} delim{[}{N}{]}^{T} delim{lbrace}{dr prime}{rbrace}$$ | ||
- | |||
- | Da cui infine | ||
- | |||
- | $$delim{[}{epsilon prime}{]} = delim{[}{N}{]} delim{[}{epsilon}{]} delim{[}{N}{]}^{T}$$ | ||
- | |||
- | ===== Direzioni principali della deformazione ===== | ||
- | |||
- | Ci domandiamo se è possibile individuare una direzione, individuata dal vettore $\boldsymbol{n}$, | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{n} = \varepsilon_n \boldsymbol{n}$$ | ||
- | |||
- | in cui $\varepsilon_n \in \mathbb{R}$ | ||
- | |||
- | La ricerca della suddetta direzione è un problema di ricerca di autovalori ed autovettori di una trasformazione lineare. Per risolverlo deve essere verificata l' | ||
- | |||
- | $$\det \left( \boldsymbol{E} - \varepsilon_n \boldsymbol{I} \right) = | ||
- | \begin{bmatrix} \left(\varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \frac{1}{2} \gamma_{xz} \\ | ||
- | \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \left(\varepsilon_y-\varepsilon_n\right) & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\ | ||
- | \frac{1}{2} \gamma_{xz} & \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \left(\varepsilon_z-\varepsilon_n \right) \end{bmatrix} = 0$$ | ||
- | |||
- | che con semplici passaggi matematici possiamo riscrivere nella forma | ||
- | |||
- | $$\left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{yz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{yz} & \left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix} + | ||
- | \left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xz} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xz} & \left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix} + \\ | ||
- | \left( \varepsilon_z - \varepsilon_n \right) \det \begin{bmatrix} \left( \varepsilon_x - \varepsilon_n \right) & \frac{1}{2} \gamma_{xy} \\ \frac{1}{2} \gamma_{xy} & \left( \varepsilon_y - \varepsilon_n \right) \end{bmatrix} | ||
- | = 0$$ | ||
- | |||
- | |||
- | =====Equazioni di congruenza===== | ||
- | |||
- | Gli spostamenti dei punti del solido elastico sono stati inizialmente descritti mediante una funzione vettoriale di tridimensione $\boldsymbol{\eta}$; | ||
- | |||
- | Per individuare tali relazioni è necessario derivare tre volte le funzioni che compongono il vettore $\boldsymbol{\eta}$, | ||
- | |||
- | Prima di calcolare tali relazioni facciamo alcune semplici considerazioni numeriche. Le derivate terze delle funzioni che compongono il vettore $\boldsymbol{\eta}$ sono 30. Le derivate seconde delle funzioni componenti il vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ sono invece 36. Devono sussistere pertanto 6 (= 36 - 30) relazioni tra le funzioni del vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$. | ||
- | |||
- | Con semplici passaggi matematici osserviamo che | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^3 u}{\partial y^2 \partial x} + \frac{\partial^3 v}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y}$$ | ||
- | |||
- | Considerazioni analoghe possono essere svolte per $\gamma_{xz}$ e $\gamma_{yz}$. | ||
- | |||
- | Per determinare le restanti tre relazioni osserviamo che | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} + \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} = 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z}$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} \right) = 2 \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z}$$ | ||
- | |||
- | Analogamente si può procedere per $\varepsilon_{y}$ e $\varepsilon_{z}$ | ||
- | |||
- | Le sei relazioni cercate tra le derivate seconde dei componenti del vettore $\boldsymbol{\varepsilon}$ sono pertanto | ||
- | |||
- | $$\begin{matrix} \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} \\ | ||
- | \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xz}}{\partial x \partial z} \\ | ||
- | \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} \\ | ||
- | 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} - \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} \right) \\ | ||
- | 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}-\frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} \right) \\ | ||
- | 2 \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y}= \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z} \right) | ||
- | \end{matrix} $$ | ||
- | |||
- | Tali equazioni sono dette di congruenza. |
scienza_costruzioni/analisi_dello_stato_di_deformazione.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)