Calcolo non lineare mediante teoria delle deformazioni impresse
Caso unidimensionale
Supponiamo una relazione tra sforzo normale e deformazione di tipo non lineare
$$ N = N( \varepsilon ) $$
Sotto l'ipotesi lineare, applicando le deformazioni impresse,
$$ N = E \, A \, \left( \varepsilon - \overline \varepsilon \right) $$
Supponiamo in prima battuta $\overline \varepsilon_0 = 0$, quindi data una forza esterna $F$, avremmo una deformazione
$$ \varepsilon_0 = \overline \varepsilon_0 + \frac{F}{E \, A} $$
Poiché in generale $ N( \varepsilon_0 ) $ sarà diverso da $F$, valutiamo la differenza
$$\Delta N_0 = F - N \left( \varepsilon_0 \right) $$
Per far coincidere gli stati di deformazione e tensione tra il modello lineare e quello non lineare, introduciamo nel primo una deformazione impressa
$$\Delta \overline \varepsilon_1 = \frac{ \Delta N_0 } {E A}$$
che sommata a $\overline \varepsilon_0$ ci dà
$$ \overline \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1 $$
Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_1$ otteniamo una deformazione
$$ \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_1 + \frac{F}{E \, A} $$
Anche in questo caso avremo in generale una differenza
$$\Delta N_1 = F - N \left( \varepsilon_1 \right) \ne 0 $$
La deformazione impressa $ \overline \varepsilon_0$ dovrà essere pertanto aumentata della quantità
$$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$
ottenendo la deformazione impressa complessiva
$$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1 $$
Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_2$ otteniamo una deformazione totale
$$ \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_2 + \frac{F}{E \, A} $$
Anche in questo caso avremo in generale una differenza
$$\Delta N_2 = F - N \left( \varepsilon_2 \right) $$
La deformazione impressa complessiva dovrà essere aumentata della quantità
$$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$
ottenendo
$$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_1 + \Delta \overline \varepsilon_2$$
Si procede iterativamente fintantoché la differenza $\Delta N_i$ non si annulli o in generale diventi trascurabile rispetto alla capacità resistente della sezione.
Caso generale
In generale la relazione tra caratteristiche di sollecitazione e parametri di deformazione della sezione è
$$ \left( \begin{matrix} N \\\\ M_{y} \\\\M_{z} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} N \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \\\\ M_{y} \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \\\\ M_{z} \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \end{matrix} \right) $$
Sotto l'ipotesi elastico lineare, supponendo di lavorare nel sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione, la relazione si semplifica assumendo la forma
$$ \left( \begin{matrix} N \\\\ M_{y} \\\\M_{z} \end{matrix} \right) = E \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\\\ 0 & I_{yy} & 0 \\\\ 0 & 0 & - I_{zz} \end{bmatrix} \left( \begin{matrix} \lambda \\\\ \mu_y \\\\ \mu_z \end{matrix} \right) $$