matematica:radici_unita_immaginaria
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matematica:radici_unita_immaginaria [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Radici dell' | ||
- | Le radici n-esime dell' | ||
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- | $$i = e^{\left( \frac{\pi}{2} + 2 k \, \pi \right) i}$$ | ||
- | |||
- | Imponendo che un generico numero complesso $z$, espresso in coordinate polari ($z=\rho e^{\theta i}) sia radice n-esima di i otteniamo | ||
- | |||
- | $$\left( \rho \, e^{\theta i} \right)^n = e^{\left(\frac{\pi}{2} +2 k \, \pi \right)i} \Longrightarrow | ||
- | \rho e^{\theta \, i} = e^{\left(\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \ pi}{n} \right) i}$$ | ||
- | |||
- | da cui: | ||
- | |||
- | $$\rho=1$$ | ||
- | $$\theta=\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \pi}{n}$$ | ||
- | |||
- | Nel caso $n=2$ | ||
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- | $$\sqrt{i} = \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$$ | ||
- | |||
- | Per le radici $-i$ procediamo analogamente | ||
- | |||
- | $$\left( \rho \, e^{\theta i} \right)^n = e^{\left( -\frac{\pi}{2} +2 k \, \pi \right)i} \Longrightarrow | ||
- | \rho e^{\theta \, i} = e^{\left( -\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \ pi}{n} \right) i}$$ | ||
- | |||
- | da cui: | ||
- | |||
- | $$\rho=1$$ | ||
- | $$\theta=-\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \pi}{n}$$ | ||
- | |||
- | Per $n = 2$ | ||
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- | $$\sqrt{-i} = \pm \frac{i - 1}{\sqrt{2}}$$ |
matematica/radici_unita_immaginaria.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)