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matematica:radici_unita_immaginaria

Radici dell'unità immaginaria

Le radici n-esime dell'unità immaginaria si calcolano a partire dalla sua descrizione in coordinate polari

$$i = e^{\left( \frac{\pi}{2} + 2 k \, \pi \right) i}$$

Imponendo che un generico numero complesso $z$, espresso in coordinate polari ($z=\rho e^{\theta i}) sia radice n-esima di i otteniamo

$$\left( \rho \, e^{\theta i} \right)^n = e^{\left(\frac{\pi}{2} +2 k \, \pi \right)i} \Longrightarrow \rho e^{\theta \, i} = e^{\left(\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \ pi}{n} \right) i}$$

da cui:

$$\rho=1$$ $$\theta=\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \pi}{n}$$

Nel caso $n=2$

$$\sqrt{i} = \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$$

Per le radici di $-i$ procediamo analogamente

$$\left( \rho \, e^{\theta i} \right)^n = e^{\left( -\frac{\pi}{2} +2 k \, \pi \right)i} \Longrightarrow \rho e^{\theta \, i} = e^{\left( -\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \ pi}{n} \right) i}$$

da cui:

$$\rho=1$$ $$\theta=-\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \pi}{n}$$

Per $n = 2$

$$\sqrt{-i} = \pm \frac{i - 1}{\sqrt{2}}$$


matematica/radici_unita_immaginaria.txt · Ultima modifica: 2014/01/23 18:37 da mickele

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