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--- matematica:radici_unita_immaginaria [2014/01/23 18:16]
mickele creata
+++ matematica:radici_unita_immaginaria [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Radici dell'unità immaginaria ======
-Le radici n-esime dell'unità immaginaria si calcolano a partire dalla sua descrizione in coordinate polari
-$$i = e^{\left( \frac{\pi}{2} + 2 k \, \pi \right) i}$$
-Imponendo che un generico numero complesso $z$, espresso in coordinate polari ($z=\rho e^{\theta i}) sia radice n-esima di i otteniamo
-$$\left( \rho \, e^{\theta i} \right)^n = e^{\left(\frac{\pi}{2} +2 k  \, \pi \right)i} \Longrightarrow
-\rho e^{\theta \, i} = e^{\left(\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \ pi}{n} \right) i}$$
-da cui:
-$$\rho=1$$
-$$\theta=\frac{\pi}{2n} +\frac{2 k \, \pi}{n}$$
-Nel caso $n=2$
-$$\sqrt{i} = \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$$
-Otterremo le radici di $-i$ moltiplicaando la radice di $i$ per l'unità immaginaria stessa. Ad esempio
-$$\sqrt{-i} =\pm\ i \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\ =\pm \frac{i - 1}{\sqrt{2}}$$

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