matematica:integrali_indefiniti_notevoli
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
matematica:integrali_indefiniti_notevoli [2015/12/23 15:30] mickele |
matematica:integrali_indefiniti_notevoli [2021/06/13 13:08] |
||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Integrali indefiniti notevoli ====== | ||
- | Nei seguenti integrali è stata omessa la costante arbitraria C. | ||
- | |||
- | ===== Funzioni polinomiali ===== | ||
- | |||
- | $$ \int x^\alpha \, \mathrm{d} x = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1}$$ | ||
- | |||
- | ===== Funzioni con radici ===== | ||
- | |||
- | $$ \int \sqrt{ 1 + a \, x^2} \, \mathrm{d} x $$ | ||
- | |||
- | [[matematica: | ||
- | |||
- | $$ a > 0 $$ | ||
- | |||
- | Procediamo per sostituzione | ||
- | |||
- | $$ x = \frac{\tan u}{\sqrt{a} } \Longrightarrow \mathrm{d} x = \frac{\sec^2 u}{\sqrt{a}} \, \mathrm{d} u$$ | ||
- | |||
- | Dalla relazione tra secante e tangente | ||
- | |||
- | $$ \sec^2 u = 1 + \tan^2 u $$ | ||
- | |||
- | Sostituendo nell' | ||
- | |||
- | $$ \int \sqrt{ 1 + a \, x^2} \, \mathrm{d} x = \int \sqrt{ 1 + \tan^2 u } \, \frac{\sec^2 u}{\sqrt{a}} \, \mathrm{d} u = \, \\ | ||
- | \, = \frac{1}{\sqrt{a}} \int \sec^3 u \, \mathrm{d} u = \frac{1}{\sqrt{a}} \left( \frac{\sin u \, \sec^2 u}{2} + \int sec^2 u \mathrm{d} u \right) = \, \\ | ||
- | \, = \frac{1}{2 \, \sqrt{a}} \left[ \tan u \, \sec u + \log \left( \tan u + \sec u \right) \right] = \, \\ | ||
- | \, = \frac{1}{2 \, \sqrt{a}} \left[ \tan u \, \sqrt{1 + \tan^2 u } + \log \left( \tan u + \sqrt{1 + \tan^2 u } \right) \right] $$ | ||
- | |||
- | ===== Funzioni trigonometriche ===== | ||
- | |||
- | $$ \int \cos x \, \mathrm{d} x = \sin x$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \sin x \, \mathrm{d} x = - \cos x$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \cos^2 x \, \mathrm{d} x = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \sin^2 x \, \mathrm{d} x = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4}$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \sin x \cos x \, \mathrm{d} x = - \frac{cos(2x)}{4}$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \cos^3 x \, \mathrm{d} x = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3}$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \sin^3 x \, \mathrm{d} x = - \cos x + \frac{\cos^3 x}{3}$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \cos x \, sin^2 x \, \mathrm{d} x = \frac{\sin^3 x}{3}$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \cos^2 x \, \sin x \, \mathrm{d} x = - \frac{\cos^3 x}{3}$$ | ||
- | |||
- | ===== Funzioni iperboliche ===== | ||
- | |||
- | $$ \int \cosh x \, \mathrm{d} x = \sinh x$$ | ||
- | |||
- | $$ \int \sinh x \, \mathrm{d} x = \cosh x$$ |
matematica/integrali_indefiniti_notevoli.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)