Il sistema di riferimento locale di un elemento è individuato da un punto (tipicamente il primo vertice dell'elemento) e da una base vettoriale, costituita da un numero di versori pari alla dimensione dello spazio nel quale lavoriamo.

Nel caso ad esempio di un elemento trave definito in uno spazio tridimensionale, l'origine del sistema di riferimento locale è costituita dal primo vertice della trave (individuato dal vettore posizione $\mathbf{r_0}$) e la base è costituita da tre versori $\mathbf{l}$, $\mathbf{m}$ e $\mathbf{n}$.

Scegliamo il versore $\mathbf{l}$ di modoche sia orientato dal primo ($\mathbf{r_0}$) al secondo vertice ($\mathbf{r_1}$) della trave.

$$\mathbf{l} = \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_0}}{\| \mathbf{r_1} - \mathbf{r_0} \|}$$

$\mathbf{m}$ invece lo poniamo pari al prodotto vettoriale tra $\mathbf{l}$ e $\mathbf{k}$ (e.g.il versore dell'asse z).

$$\mathbf{m} = \mathbf{l} \times \mathbf{k} $$

Nel caso in cui $\mathbf{l}$ sia parallelo a $\mathbf{k}$, facciamo coincidere $\mathbf{l}$ con il versore $\mathbf{i}$ (e.g.il versore dell'asse x).

Il versore $\mathbf{n}$ sarà infine pari al prodotto vettoriale tra $\mathbf{l}$ e $\mathbf{m}$.

$$\mathbf{n} = \mathbf{l} \times \mathbf{m} $$

Costruiamo ora la matrice $ \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}$ le cui colonne sono pari alle componenti dei versori $\mathbf{l}$, $\mathbf{m}$ e $\mathbf{n}$ nel sistema di riferimento globale. Nel caso tridimensionale analizzato in precedenza avremmo pertanto

$$ \begin{bmatrix} N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l_x & m_x & m_x \\\\ l_y & m_y & m_y \\\\ l_z & m_z & m_z \end{bmatrix} $$

Con le posizioni fin qui fatte possiamo scrivere la seguente relazione tra le coordinate nei sistemi di riferimento locale e globale.

$$ \begin{Bmatrix} r_L \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} N \end{bmatrix} \left( \begin{Bmatrix} r_G \end{Bmatrix} - \begin{Bmatrix} r_{G,0}\end{Bmatrix}\right) $$

Invertendo la suddetta relazione otteniamo

$$ \begin{Bmatrix} r_G \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}^T \begin{Bmatrix} r_L \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} r_{G,0}\end{Bmatrix}$$

Nel caso di grandezze vettoriali quali sono le forze o gli spostamenti nodali

$$ \begin{Bmatrix} \eta_L \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} N \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix} $$

$$ \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}^T \begin{Bmatrix} \eta_L \end{Bmatrix} $$

Con la matrice di rigidezza locale $\begin{bmatrix} K_L \end{bmatrix}$ vale la relazione

$$ \begin{Bmatrix} f_L \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} K_L \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_L \end{Bmatrix}$$

Stiamo cercando la matrice $\begin{bmatrix} K_G \end{bmatrix}$ per la quale vale la relazione

$$ \begin{Bmatrix} f_G \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} K_G \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix}$$

Da quanto osservato nel paragrafo rpecedente, la prima equazione riportata sopra può essere riscritta nella forma

$$ \begin{bmatrix} N \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} f_G \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} K_L \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix}$$

Essendo la matrice $\begin{bmatrix} N \end{bmatrix}$ ortogonale si ha

$$\begin{bmatrix} N \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}^T$$

e quindi

$$\begin{Bmatrix} f_G \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} K_L \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \eta_G \end{Bmatrix}$$

Dall'uguaglianza con la seconda equazione scritta sopra abbiamo

$$ \begin{bmatrix} K_G \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} K_L \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N \end{bmatrix}$$