Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- qstruct:teoria:qsection:integrali_traslazione [2014/11/26 12:58]
mickele [Momenti di terzo ordine]
+++ qstruct:teoria:qsection:integrali_traslazione [2021/06/13 13:10] (versione attuale)
@@ Linea 3: / Linea 3: @@
 ===== Momenti statici =====
-Le formule applicative sono
+Le formule per il calcolo dei momenti statici nel caso di traslazione del sistema di riferimento del vettore $(y_0, z_0)$ sono
 $$S_z^{\nearrow} = S_z - A \cdot y_0$$
@@ Linea 10: / Linea 10: @@
 Per il calcolo analitico vedi la pagina del wiki sulla [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|geometria delle aree]].
 ===== Momenti di inerzia =====
@@ Linea 24: / Linea 25: @@
 Per maggiori dettagli su come si determinano tali formule si rimanda alla sezione del wiki sulla [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|geometria delle aree]].
 ===== Momenti di terzo ordine =====
-$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = $$
+Le formule che ci permettono di calcolare i momenti di terzo ordine nel caso di traslazione del sistema di riferimento di $(y_0, z_0)$ sono
+$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
+\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 y_0 \, I_{zz} + 3 y_0^2 \, S_{z} - y_0^3 \, A $$
+$$\iint \limits_{S} z_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
+\iint \limits_{S} z^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 z_0 \, I_{yy} + 3 z_0^2 \, S_{y} - z_0^3 \, A$$
+$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^2 \, z_{\nearrow} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
+\iint \limits_{S} y^2 \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 y_0 \, I_{yz} - z_0 \, I_{zz} + y_0^2 \, S_y + 2 y_0 \, z_0 S_{z} - y_0^2 \, z_0 A $$
+$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow} \, z_{\nearrow}^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
+\iint \limits_{S} y \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 z_0 I_{yz} - y_0 \, I_{yy} + z_0^2 \, S_z + 2 y_0 \, z_0 \, S_y - y_0 \, z_0^2 \, A $$
+Si riporta di seguito il dettaglio dei calcoli
+$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right)^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
+\iint \limits_{S} \left( y^3 - 3 y_0 \, y^2 + 3 y_0^2 \, y - y_0^3 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
+\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 y_0 \, I_{zz} + 3 y_0^2 \, S_{z} - y_0^3 \, A $$
-$$\iint \limits_{S} z^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = $$
+$$\iint \limits_{S} z_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( z - z_0 \right)^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
+\iint \limits_{S} \left( z^3 - 3 z_0 \, z^2 + 3 z_0^2 \, z - z_0^3 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
+\iint \limits_{S} z^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 z_0 \, I_{yy} + 3 z_0^2 \, S_{y} - z_0^3 \, A$$
-$$\iint \limits_{S} y^2 \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = $$
+$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^2 \, z_{\nearrow} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right)^2 \, \left( z - z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
+\iint \limits_{S} \left( y^2 - 2 y_0 \, y + y_0^2 \right) \, \left( z - z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y^2 \, z - 2 y_0 \, y \, z + y_0^2 \, z - z_0 \, y^2 + 2 y_0 \, z_0 \, y - y_0^2 \, z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
+\iint \limits_{S} y^2 \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 y_0 \, I_{yz} - z_0 \, I_{zz} + y_0^2 \, S_y + 2 y_0 \, z_0 S_{z} - y_0^2 \, z_0 A $$
-$$\iint \limits_{S} y \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = $$
+$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow} \, z_{\nearrow}^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right) \, \left( z - z_0 \right)^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
+\iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right) \, \left( z^2 - 2 z_0 \, z + z_0^2 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \iint \limits_{S} \left( y \, z^2 - 2 z_0 \, y \, z + z_0^2 \, y - y_0 \, z^2 + 2 y_0 \, z_0 \, z - y_0 \, z_0^2 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
+\iint \limits_{S} y \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 z_0 I_{yz} - y_0 \, I_{yy} + z_0^2 \, S_z + 2 y_0 \, z_0 \, S_y - y_0 \, z_0^2 \, A $$

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina