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qstruct:teoria:qsection:integrali_traslazione

Integrali notevoli con traslazione del sistema di riferimento

Momenti statici

Le formule per il calcolo dei momenti statici nel caso di traslazione del sistema di riferimento del vettore $(y_0, z_0)$ sono

$$S_z^{\nearrow} = S_z - A \cdot y_0$$

$$S_y^{\nearrow} = S_y - A \cdot z_0$$

Per il calcolo analitico vedi la pagina del wiki sulla geometria delle aree.

Momenti di inerzia

Le formule per il calcolo dei momenti di inerzia nel caso di traslazione del sistema di riferimento di $(y_0, z_0)$ sono

$$I_{zz}^\nearrow = I_{zz} - 2 \, y_0 \, S_{z} + A \, y_0^2$$

$$I_{yy}^\nearrow = I_{yy} - 2 \, z_0 \, S_{y} + A \, z_0^2$$

$$I_{yz}^\nearrow = I_{yz} - y_0 \, S_{y} - z_0 \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$

Per maggiori dettagli su come si determinano tali formule si rimanda alla sezione del wiki sulla geometria delle aree.

Momenti di terzo ordine

Le formule che ci permettono di calcolare i momenti di terzo ordine nel caso di traslazione del sistema di riferimento di $(y_0, z_0)$ sono

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 y_0 \, I_{zz} + 3 y_0^2 \, S_{z} - y_0^3 \, A $$

$$\iint \limits_{S} z_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} z^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 z_0 \, I_{yy} + 3 z_0^2 \, S_{y} - z_0^3 \, A$$

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^2 \, z_{\nearrow} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} y^2 \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 y_0 \, I_{yz} - z_0 \, I_{zz} + y_0^2 \, S_y + 2 y_0 \, z_0 S_{z} - y_0^2 \, z_0 A $$

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow} \, z_{\nearrow}^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} y \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 z_0 I_{yz} - y_0 \, I_{yy} + z_0^2 \, S_z + 2 y_0 \, z_0 \, S_y - y_0 \, z_0^2 \, A $$

Si riporta di seguito il dettaglio dei calcoli

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right)^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ \iint \limits_{S} \left( y^3 - 3 y_0 \, y^2 + 3 y_0^2 \, y - y_0^3 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ \iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 y_0 \, I_{zz} + 3 y_0^2 \, S_{z} - y_0^3 \, A $$

$$\iint \limits_{S} z_{\nearrow}^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( z - z_0 \right)^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ \iint \limits_{S} \left( z^3 - 3 z_0 \, z^2 + 3 z_0^2 \, z - z_0^3 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ \iint \limits_{S} z^3 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 3 z_0 \, I_{yy} + 3 z_0^2 \, S_{y} - z_0^3 \, A$$

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow}^2 \, z_{\nearrow} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right)^2 \, \left( z - z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ \iint \limits_{S} \left( y^2 - 2 y_0 \, y + y_0^2 \right) \, \left( z - z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y^2 \, z - 2 y_0 \, y \, z + y_0^2 \, z - z_0 \, y^2 + 2 y_0 \, z_0 \, y - y_0^2 \, z_0 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ \iint \limits_{S} y^2 \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 y_0 \, I_{yz} - z_0 \, I_{zz} + y_0^2 \, S_y + 2 y_0 \, z_0 S_{z} - y_0^2 \, z_0 A $$

$$\iint \limits_{S} y_{\nearrow} \, z_{\nearrow}^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right) \, \left( z - z_0 \right)^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ \iint \limits_{S} \left( y - y_0 \right) \, \left( z^2 - 2 z_0 \, z + z_0^2 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \iint \limits_{S} \left( y \, z^2 - 2 z_0 \, y \, z + z_0^2 \, y - y_0 \, z^2 + 2 y_0 \, z_0 \, z - y_0 \, z_0^2 \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ \iint \limits_{S} y \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - 2 z_0 I_{yz} - y_0 \, I_{yy} + z_0^2 \, S_z + 2 y_0 \, z_0 \, S_y - y_0 \, z_0^2 \, A $$


qstruct/teoria/qsection/integrali_traslazione.txt · Ultima modifica: 2014/11/26 13:27 da mickele

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