Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- qstruct:teoria:qeasycncr:sezione_composta_pressoflessione [2014/07/08 18:52]
mickele [Calcolo posizione asse neutro]
+++ qstruct:teoria:qeasycncr:sezione_composta_pressoflessione [2021/06/13 13:10] (versione attuale)
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
 ====== Sezione composta - Pressoflessione ======
+=== Calcolo posizione asse neutro =====
-==== Calcolo posizione asse neutro =====
+Per individuare la posizione dell'asse neutro, partendo dall'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, imponiamo l'equilibrio a traslazione. Ponendo l'asse y all'altezza dell'asse neutro, analogamente a quanto fatto in nel paragrafo del wiki sulla [[tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione|Pressoflessione retta]], imponendo l'equilibrio a traslazione otteniamo
-Per individuare la posizione dell'asse neutro, partendo dall'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, imponiamo l'equilibrio a traslazione. Ponendo l'asse y all'altezza dell'asse neutro, analogamente a quanto fatto in nel apragrafo [[tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione|Pressoflessione retta]], imponendo l'equilibrio a traslazione otteniamo
+$$E_0 \; \chi_y \left[  - b_m \frac{x_m^2}{2} - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right) \right] = N $$
-$$E_0 \; \chi_y \left[  b_m \frac{x_m^2}{2} + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right) \right] = N $$
 Imponendo l'equilibrio a rotazione otteniamo invece
-$$E_0 \; \chi_y \left\{ b_m \frac{x_m^3}{3} + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right)^2 + \frac{b_i \; t_i^3}{12}\right] + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right) \right\} = \\
+$$E_0 \; \chi_y \left\{ b_m \frac{x_m^3}{3} + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right)^2 + \frac{b_i \; t_i^3}{12}\right] + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right)^2 \right\} = \\
 M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i - x_m \right) $$
 Moltiplicando i membri delle due relazioni otteniamo
-$$\left[  b_m \frac{x_m^2}{2} + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right) \right] \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i - x_m \right) \right] = \\
+$$\left[ - b_m \frac{x_m^2}{2} - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right) \right] \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i - x_m \right) \right] = \\
-\left\{ b_m \frac{x_m^3}{3} + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right)^2 + \frac{b_i \; t_i^3}{12}\right] + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right)^2 \right\} N \Longrightarrow \\
+\left\{ b_m \frac{x_m^3}{3} + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right)^2 + \frac{b_i \; t_i^3}{12}\right] + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right)^2 \right\} N \Longrightarrow $$
-\left[  b_m \frac{x_m^2}{2} + \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right] \\
+$$\left[ - b_m \frac{x_m^2}{2} - \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j - \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right] \\
 \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right)  - N \; x_m \right] = \\
-N \; b_m \frac{x_m^3}{3} + N \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i  \; x_m^2  + \left( 2 b_i \; t_i   \left( \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j \right) + b_i \; t_i^2 \right) x_m + b_i \; t_i  \left( \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j \right)^2 + b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j \right) + \frac{b_i \; t_i^3}{3}  \right] + \\
+N \; b_m \frac{x_m^3}{3} + N \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i  \; x_m^2  + \left( 2 b_i \; t_i   \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + b_i \; t_i^2 \right) x_m + b_i \; t_i  \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 + b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{b_i \; t_i^3}{3}  \right] \\
-\alpha_e N \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left[ x_m^2 + \left( - 2 d_i + 2 \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right) x_m + d_i^2  - 2 d_i \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] \Longrightarrow \\
++ \alpha_e N \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left[ x_m^2 + \left( - 2 d_i + 2 \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right) x_m + d_i^2  - 2 d_i \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] \Longrightarrow$$
-\left[  b_m \frac{x_m^2}{2} + \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right] \\
-\left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right)  - N \; x_m \right] = \\
+$$- \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \frac{b_m}{2} x_m^2 \\
-N \; b_m \frac{x_m^3}{3} + N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i  \; x_m^2  + \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1}  2 b_i \; t_i   \left( \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j \right) + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^2 \right) x_m + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i  \left( \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j \right)^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i-1}^{m-1} t_j \right) + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  \frac{b_i \; t_i^3}{3}  \right] + \\
+- \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m \\
-\alpha_e N \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left[ x_m^2 + \left( - 2 d_i + 2 \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right) x_m + d_i^2  - 2 d_i \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] $$
+- \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] \\
++ N \frac{b_m}{2} x_m^3 \\
++ N \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m^2 \\
+- N \left[ - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j - \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i - \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] x_m = \\
+N \frac{b_m}{3} x_m^3 \\
++ N \left[ \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) + \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i  \right) \right] x_m^2  \\
++ N \left[ 2 \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) - 2 \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + 2 \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i  \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^2 \right] x_m \\
++ N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i  \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  \frac{b_i \; t_i^3}{3} \right] \\
++ \alpha_e N \left[ \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \; d_i^2  - 2 \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \; d_i \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right]
+\Longrightarrow $$
+$$+ N \frac{b_m}{2} x_m^3 \\
+- N \frac{b_m}{3} x_m^3 \\
+- \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \frac{b_m}{2} x_m^2 \\
++ N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \right] x_m^2 \\
+- N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right] x_m^2 \\
+- \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m \\
+- N \left[ - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j - \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i - \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] x_m \\
+- N \left[ 2 \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) - 2 \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + 2 \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i  \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^2 \right] x_m \\
+- \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] \\
+- N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i  \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{1}{3} \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^3 \right] \\
+- \alpha_e N \left[ \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \; d_i^2  - 2 \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \; d_i \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] = 0
+ \Longrightarrow $$
+$$+ N \frac{b_m}{6} x_m^3 \\
+- \frac{b_m}{2} \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] x_m^2 \\
+- \left\{ \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \\
++ N \left[ \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i  \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right] + \alpha_e  \; N \left[ \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) - \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i \right] \right\} x_m \\
+- \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] \\
+- N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i  \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{1}{3} \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^3 \right] \\
+- \alpha_e N \left[ \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \; d_i^2  - 2 \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \; d_i \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] = 0
+ \Longrightarrow $$
+$$+ N \frac{b_m}{6} x_m^3 \\
+- \frac{b_m}{2} \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] x_m^2 \\
+- \left\{
+\left( M_y + N \; h_G \right) \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \\
++ N \left[ \frac{1}{2} \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \right) + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i  \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) - \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \right) - \alpha_e  \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i \right) \right]  \right\} x_m \\
+- \left( M_y + N \; h_G \right) \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] \\
++ N \left\{ \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \right]
+- \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i  \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] - \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i^2  \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) - \frac{1}{3} \sum \limits_{i=1}^{m-1}  b_i \; t_i^3 \\
+- \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \; d_i^2 + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i}  \; d_i \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right\}  = 0
+$$

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina