Strumenti Utente



qstruct:teoria:qeasycncr:sezione_composta_pressoflessione

Sezione composta - Pressoflessione

Calcolo posizione asse neutro

Per individuare la posizione dell'asse neutro, partendo dall'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, imponiamo l'equilibrio a traslazione. Ponendo l'asse y all'altezza dell'asse neutro, analogamente a quanto fatto in nel paragrafo del wiki sulla Pressoflessione retta, imponendo l'equilibrio a traslazione otteniamo

$$E_0 \; \chi_y \left[ - b_m \frac{x_m^2}{2} - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right) \right] = N $$

Imponendo l'equilibrio a rotazione otteniamo invece

$$E_0 \; \chi_y \left\{ b_m \frac{x_m^3}{3} + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right)^2 + \frac{b_i \; t_i^3}{12}\right] + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right)^2 \right\} = \\ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i - x_m \right) $$

Moltiplicando i membri delle due relazioni otteniamo

$$\left[ - b_m \frac{x_m^2}{2} - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right) \right] \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i - x_m \right) \right] = \\ \left\{ b_m \frac{x_m^3}{3} + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i \left( x_m + \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{t_i}{2} \right)^2 + \frac{b_i \; t_i^3}{12}\right] + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left( d_i - \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j - x_m \right)^2 \right\} N \Longrightarrow $$

$$\left[ - b_m \frac{x_m^2}{2} - \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j - \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right] \\ \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) - N \; x_m \right] = \\ N \; b_m \frac{x_m^3}{3} + N \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left[ b_i \; t_i \; x_m^2 + \left( 2 b_i \; t_i \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + b_i \; t_i^2 \right) x_m + b_i \; t_i \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 + b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{b_i \; t_i^3}{3} \right] \\ + \alpha_e N \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \left[ x_m^2 + \left( - 2 d_i + 2 \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right) x_m + d_i^2 - 2 d_i \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] \Longrightarrow$$

$$- \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \frac{b_m}{2} x_m^2 \\ - \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m \\ - \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] \\ + N \frac{b_m}{2} x_m^3 \\ + N \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m^2 \\ - N \left[ - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j - \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i - \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] x_m = \\ N \frac{b_m}{3} x_m^3 \\ + N \left[ \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) + \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \right) \right] x_m^2 \\ + N \left[ 2 \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) - 2 \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + 2 \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \right] x_m \\ + N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \frac{b_i \; t_i^3}{3} \right] \\ + \alpha_e N \left[ \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i^2 - 2 \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] \Longrightarrow $$

$$+ N \frac{b_m}{2} x_m^3 \\ - N \frac{b_m}{3} x_m^3 \\ - \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \frac{b_m}{2} x_m^2 \\ + N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right] x_m^2 \\ - N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \right) + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right] x_m^2 \\ - \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) x_m \\ - N \left[ - \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j - \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i - \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] x_m \\ - N \left[ 2 \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) - 2 \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + 2 \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \right] x_m \\ - \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] \\ - N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{1}{3} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^3 \right] \\ - \alpha_e N \left[ \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i^2 - 2 \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] = 0 \Longrightarrow $$

$$+ N \frac{b_m}{6} x_m^3 \\ - \frac{b_m}{2} \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] x_m^2 \\ - \left\{ \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \\ + N \left[ \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right] + \alpha_e \; N \left[ \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) - \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i \right] \right\} x_m \\ - \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] \\ - N \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 + \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{1}{3} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^3 \right] \\ - \alpha_e N \left[ \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i^2 - 2 \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) + \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] = 0 \Longrightarrow $$

$$+ N \frac{b_m}{6} x_m^3 \\ - \frac{b_m}{2} \left[ M_y + N \left( h_G - \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \right] x_m^2 \\ - \left\{ \left( M_y + N \; h_G \right) \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i + \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \\ + N \left[ \frac{1}{2} \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \right) + \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) - \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \right) - \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i \right) \right] \right\} x_m \\ - \left( M_y + N \; h_G \right) \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right] \\ + N \left\{ \left( \sum \limits_{i=1}^{m-1} t_i \right) \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^2 \right] - \left[ \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i \left( \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right)^2 \right] - \sum \limits_{i=1}^{m-1} \left( b_i \; t_i^2 \sum \limits_{j=i+1}^{m-1} t_j \right) - \frac{1}{3} \sum \limits_{i=1}^{m-1} b_i \; t_i^3 \\ - \alpha_e \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i^2 + \alpha_e \left( \sum \limits_{i=1}^{ns} A_{s,i} \; d_i \right) \left( \sum \limits_{j=1}^{m-1} t_j \right) \right\} = 0 $$


qstruct/teoria/qeasycncr/sezione_composta_pressoflessione.txt · Ultima modifica: 2014/08/31 16:41 da mickele

Facebook Twitter Google+ Digg Reddit LinkedIn StumbleUpon Email