Approssimiamo la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor, secondo

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$

Supponiamo sia possibile dividere le variabili aleatorie associate al nostro sistema in due insiemi:

• variabili con effetto favorevole sullo stato limite $r$; supponiamo siano le variabili $x_i$ con i compreso tra $1$ e $m$
• variabili con effetto sfavorevole sullo stato limite $e$; supponiamo siano le $x_i$ di indice compreso tra $m+1$ e $n$

A ciascun insieme di variabili associamo una variabile aleatoria

• $ r = g_r \left( x_i \right)$ con $i=1 \dots m$
• $ e = g_e \left( x_i \right)$ con $i=m+1 \dots n$

Supponiamo infine che la funzione di stato limite assuma la forma

$g_{LS} \left( r,e \right) = r - e$

Supponendo che $r$ ed $e$ siano statisticamente indipendenti e che a ciascuno di esse sia associata una distribuzione normale, $g_{LS}$ diventa a sua volta una variabile aleatoria con distribuzione normale, e quindi

$$\mu_g = \mu_r - \mu_e$$

$$\sigma_g^2 = \sigma_r^2 + \sigma_e^2 $$

Con le ipotesi semplificative introdotte sopra, la probabilità di insuccesso può essere calcolata mediante l'integrale improprio

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{0} f_{n}(g) \; \mathrm{d}g$$

in cui ricordiamo che $f_{n}$ è una funzione del tipo

$$f_{n} \left(g_{LS} \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_g^2}} \exp \left( {- \frac{1}{2} \left( \frac{ g_{LS} - \mu_g }{2 \sigma_g} \right)^2 } \right) $$

Effettuiamo un cambio di variabile passando dalla variabile $g_{LS}$ alla variabile $u_g$, così definita

$$u_g = \frac{g_{LS} - \mu_g}{\sigma_g} $$

Con questa posizione $f_{n}(u_g)$ è una funzione simmetrica; possiamo quindi scrivere

$$ \DeclareMathOperator\erf{erf} P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{n}(u_g) \; \mathrm{d}u_g = \int \limits_{\beta}^{\infty} f_{n}(u_g) \; \mathrm{d}u_g = 1 - \frac{1}{2} \left[ 1 + \erf \left( \frac{u_g}{\sqrt{2}} \right) \right] $$

$\frac{1}{2} \left[ 1 + \erf \left( \frac{u_g}{\sqrt{2}} \right) \right]$ è la funzione di distribuzione cumulativa associata alla distribuzione di probabilità gaussiana.

A sua volta $\DeclareMathOperator\erf{erf} \erf \left( x \right)$ è la funzione degli errori di Gauss, pari a

$$\DeclareMathOperator\erf{erf} \erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits_{0}^{x} \exp \left( -t^2 \right) \mathrm{d} t$$

I suoi valori sono facilmente determinabili negli ambienti di calcolo matematici di utilizzo usuale (excel, libreoffice-calc, matlab, la libreria math del linguaggio C).

La probabilità di insuccesso è quindi funzione del solo parametro $\beta$ denominato indice di sicurezza poiché direttamente correlato con la probabilità di raggiungimento dello stato limite.

Dall'ultima relazione è possibile ricavare la seguente correlazione tra la probabilità di insuccesso e l'indice di sicurezza

Partendo da tale osservazione, fissando per ciascuno stato limite la relativa probabilità di insuccesso, l'Eurocodice 0 (UNI EN 1990) definisce i valori minimi raccomandati dell'indice di sicurezza in funzione della classe di sicurezza.

La classe di sicurezza è correlata con le conseguenze del collasso in termini di perdite di vite umane, economiche, sociali o ambientali (RC3 → conseguenze eccezionali; RC2 → conseguenze rilevanti; RC3 → conseguenze trascurabili).

I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine.

Sotto tale ipotesi, sulla base di quanto visto al paragrafo precedente, invece di calcolare la probabilità di insuccesso, focalizziamo la nostra attenzione sull'indice di sicurezza.

Cerchiamo di dare un'interpretazione più intuitiva all'indice di sicurezza $\beta$.

Per farlo effettuiamo il cambio di variabili

$$r' = \frac{r - \mu_r}{\sigma_r} $$

$$e' = \frac{e - \mu_e}{\sigma_e} $$

Poiché la funzione di stato limite $g_{LS}$ è lineare rispetto ad $r'$ ed $e'$. Da quanto detto sopra questo vuol dire che:

• o la funzione di stato limite è effettivamente lineare
• o approssimiamo la funzione di stato limite al suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine e centrato in un certo punto.

Nel piano $r's'$ $g_{LS}$ sarà rappresentata con una retta. Il coefficiente $\beta$ è pari ala distanza di tale retta dall'origine.

Il metodo FOSM (First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine e centrato nei valori medi delle variabili aleatorie

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n ) \approx g(\mu_{x,1}, \mu_{x,2}, \dots \mu_{x,n}) + \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i}\right)_{\mu_x} \left( x_i - \mu_{x,i}\right) \\ = g(\mathbf{\mu_x}) + \nabla g_{\mu_x} \cdot \left( \mathbf{x} - \mathbf{\mu_x} \right)$$

Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo

$$\mu_g = g(\mu_{x,1}, \mu_{x,2}, \dots \mu_{x,n})$$

$$\sigma_g^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_g} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_g} \sigma_{xi,xj}^2$$

in cui $\sigma_{xi,xj}$ è la covarianza della variabile $x_i$ rispetto alla variabile $x_j$.

Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza di $g$ si semplifica

$$\sigma_g^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_g} \sigma_{x,i}^2$$

Anche il metodo AFOSM (Advanced First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine che però viene centrato in un punto $\mathbf{x^{*}}$ scelto in maniera da minimizzare $\beta = \mu_z / \sigma_z$

$$ \beta_{HL} = \min \left\{ \left( \frac{\mu_z}{\sigma_z} \right)_{\mathbf{x^{*}}} \right\}$$

Con i metodi SORM (Second Order Reliabilty Methods) approssimiamo la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al secondo ordine

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) \approx g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right)$$