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tecnica_costruzioni:sicurezza_strutturale:probabilistico_livello_2

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tecnica_costruzioni:sicurezza_strutturale:probabilistico_livello_2 [2013/06/27 10:17]
mickele [Indice di sicurezza] 		tecnica_costruzioni:sicurezza_strutturale:probabilistico_livello_2 [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
Linea 1: Linea 1:
 ====== Metodi probabilistici di livello 2 ====== ====== Metodi probabilistici di livello 2 ======
  
-Approssimiamo la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor, secondo+I metodi probabilistici di livello 2 approssimiamo la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor
  
 $$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$ $$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$
  
 +In base all'ordine al quale tronchiamo lo sviluppo in serie di Taylor avremo differenti sottofamiglie di metodi:
 +  * i metodi FORM arrestano lo sviluppo in serie al primo ordine
 +  * i metodi SORM si fermano al secondo ordine.
  
 +Inoltre tali metodi spostano l'attenzione dal calcolo della probabilità di insuccesso al calcolo di un indice di sicurezza, che vedremo tra breve, strettamente correlato con quest'ultima.
 ====== Indice di sicurezza ====== ====== Indice di sicurezza ======
  
Linea 74: Linea 78:
 I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine. I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine.
  
-Sotto tale ipotesi, sulla base di quanto visto al paragrafo precedente, invece di calcolare la probabilità di insuccesso, focalizziamo la nostra attenzione sull'indice di sicurezza.+Sotto tale ipotesi, sulla base di quanto visto al paragrafo precedente, procediamo al calcolo dell'indice di sicurezza $\beta$.
  
-Cerchiamo di dare un'interpretazione più intuitiva all'indice di sicurezza $\beta$.+Cerchiamo di dare un'interpretazione più intuitiva di tale indice.
  
 Per farlo effettuiamo il cambio di variabili Per farlo effettuiamo il cambio di variabili
Linea 86: Linea 90:
 Poiché la funzione di stato limite $g_{LS}$ è lineare rispetto ad $r'$ ed $e'$. Da quanto detto sopra questo vuol dire che: Poiché la funzione di stato limite $g_{LS}$ è lineare rispetto ad $r'$ ed $e'$. Da quanto detto sopra questo vuol dire che:
   * o la funzione di stato limite è effettivamente lineare   * o la funzione di stato limite è effettivamente lineare
-  * o approssimiamo la funzione di stato limite al suo sviluppo in serie di Taylor approssimato in un certo punto.+  * o approssimiamo la funzione di stato limite al suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine e centrato in un certo punto.
  
-Nel piano $r's'$ $g_{LS}$ sarà rappresentata con una retta. Il coefficiente $\beta$ è pari ala distanza della retta dall'origine.+Nel piano $r's'$ $g_{LS}$ sarà rappresentata con una retta. Il coefficiente $\beta$ è pari ala distanza di tale retta dall'origine.
  
 ==== FOSM ==== ==== FOSM ====
Linea 99: Linea 103:
 Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo
  
-$$\mu_z =  g(\mu_{x,1}, \mu_{x,2}, \dots \mu_{x,n})$$+$$\mu_g =  g(\mu_{x,1}, \mu_{x,2}, \dots \mu_{x,n})$$
  
-$$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_x} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_x} \sigma_{xi,xj}^2$$+$$\sigma_g^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_g} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_g} \sigma_{xi,xj}^2$$
  
 in cui $\sigma_{xi,xj}$ è la covarianza della variabile $x_i$ rispetto alla variabile $x_j$. in cui $\sigma_{xi,xj}$ è la covarianza della variabile $x_i$ rispetto alla variabile $x_j$.
  
-Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza della variabile $z$ si semplifica+Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza di $g$ si semplifica
  
  
-$$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_x} \sigma_{x,i}^2$$+$$\sigma_g^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_g} \sigma_{x,i}^2$$
  
  
 ==== AFOSM ==== ==== AFOSM ====
  
-Anche il metodo AFOSM (Advanced First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine che però viene centrato in un punto $\mathbf{x^{*}}$ scelto in maniera da minimizzare $\beta = \mu_z / \sigma_z$+Nel caso la funzione di stato limite sia lineare, il metodo FOSM ci permette di valutare il valore esatto dell'indicei di sicurezza. Nel caso sia non lineare, possiamo ottenere valori di \beta anche molto lontani dal valore effettivo.
  
-$$ \beta_{HL} = \min \left\{ \left(  \frac{\mu_z}{\sigma_z} \right)_{\mathbf{x^{*}}} \right\}$$+Per risolvere tale problema è stato formulato il metodo AFOSM (Advanced First Order Second Moment). Anche il metodo AFOSM approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine, cambia però il punto $\mathbf{x^{*}}$ rispetto al quale centriamo lo sviluppo. Più in particolare il punto $\mathbf{x^{*}}$ è ottimizzato in modo da avvicinarsi all'effettivo valore di $\beta$. 
 + 
 +A tal proposito gli approcci possibili sono di varia natura, più o meno complessi. L'approccio più immediato mira alla ricerca del valore di $\mathbf{x^{*}}$ che minimizza il corrispondente valore di $\beta \left( \mathbf{x^{*}} \right)$, secondo 
 + 
 +$$ \beta_{min} = \min \left\{ \left(  \frac{\mu_g}{\sigma_g} \right)_{\mathbf{x^{*}}} \right\}$$
 ===== SORM ===== ===== SORM =====
  
tecnica_costruzioni/sicurezza_strutturale/probabilistico_livello_2.1372321076.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)

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