tecnica_costruzioni:sicurezza_strutturale:probabilistico_livello_2
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Metodi probabilistici di livello 2 ====== | ====== Metodi probabilistici di livello 2 ====== | ||
- | Approssimiamo | + | I metodi probabilistici di livello 2 approssimiamo |
$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$ | $$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$ | ||
+ | In base all' | ||
+ | * i metodi FORM arrestano lo sviluppo in serie al primo ordine | ||
+ | * i metodi SORM si fermano al secondo ordine. | ||
+ | Inoltre tali metodi spostano l' | ||
====== Indice di sicurezza ====== | ====== Indice di sicurezza ====== | ||
Linea 20: | Linea 24: | ||
$g_{LS} \left( r,e \right) = r - e$ | $g_{LS} \left( r,e \right) = r - e$ | ||
- | |||
- | Questa ipotesi può essere verificata perché: | ||
- | * effettivamente la funzione di stato limite è lineare rispetto alle variabili $r$ ed $e$ | ||
- | * abbiamo approssimato la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor. | ||
Supponendo che $r$ ed $e$ siano statisticamente indipendenti e che a ciascuno di esse sia associata una distribuzione normale, $g_{LS}$ diventa a sua volta una variabile aleatoria con distribuzione normale, e quindi | Supponendo che $r$ ed $e$ siano statisticamente indipendenti e che a ciascuno di esse sia associata una distribuzione normale, $g_{LS}$ diventa a sua volta una variabile aleatoria con distribuzione normale, e quindi | ||
Linea 78: | Linea 78: | ||
I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine. | I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine. | ||
- | Sotto tale ipotesi, sulla base di quanto visto al paragrafo precedente, | + | Sotto tale ipotesi, sulla base di quanto visto al paragrafo precedente, |
- | Cerchiamo di dare un' | + | Cerchiamo di dare un' |
Per farlo effettuiamo il cambio di variabili | Per farlo effettuiamo il cambio di variabili | ||
Linea 88: | Linea 88: | ||
$$e' = \frac{e - \mu_e}{\sigma_e} $$ | $$e' = \frac{e - \mu_e}{\sigma_e} $$ | ||
- | Supponendo che la funzione di stato limite $g_{LS}$ | + | Poiché |
+ | * o la funzione di stato limite è effettivamente lineare | ||
+ | * o approssimiamo la funzione di stato limite al suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine e centrato in un certo punto. | ||
+ | |||
+ | Nel piano $r' | ||
==== FOSM ==== | ==== FOSM ==== | ||
Linea 99: | Linea 103: | ||
Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo | Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo | ||
- | $$\mu_z = g(\mu_{x, | + | $$\mu_g = g(\mu_{x, |
- | $$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_x} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_x} \sigma_{xi, | + | $$\sigma_g^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_g} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_g} \sigma_{xi, |
in cui $\sigma_{xi, | in cui $\sigma_{xi, | ||
- | Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza | + | Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza |
- | $$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_x} \sigma_{x, | + | $$\sigma_g^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_g} \sigma_{x, |
==== AFOSM ==== | ==== AFOSM ==== | ||
- | Anche il metodo AFOSM (Advanced First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine | + | Nel caso la funzione di stato limite sia lineare, il metodo FOSM ci permette di valutare il valore esatto dell' |
+ | |||
+ | Per risolvere tale problema è stato formulato | ||
+ | |||
+ | A tal proposito gli approcci possibili sono di varia natura, più o meno complessi. L' | ||
- | $$ \beta_{HL} = \min \left\{ \left( | + | $$ \beta_{min} = \min \left\{ \left( |
===== SORM ===== | ===== SORM ===== | ||
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