Approssimiamo la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor, secondo

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$

Supponiamo sia possibile dividere le variabili aleatorie associate al nostro sistema in due insiemi:

• variabili con effetto favorevole sullo stato limite $R$; supponiamo siano le variabili $x_i$ con i compreso tra $1$ e $m$
• variabili con effetto sfavorevole sullo stato limite $E$; supponiamo siano le $x_i$ di indice compreso tra $m+1$ e $n$

A ciascun insieme di variabili associamo una variabile aleatoria

• $ r = G_R \left( x_i \right)$ con $i=1 \dots m$
• $ e = G_E \left( x_i \right)$ con $i=m+1 \dots n$

di modo che la funzione di stato limite assuma la forma

$F_{LS} \left( r,e \right) = r - e$

Introduciamo la variabile aleatoria $z$, che chiameremo esito, così definita

$$z = r - e$$

Supponendo che $r$ ed $e$ siano statisticamente indipendenti e che a ciascuno di esse sia associata una distribuzione standard, abbiamo

$$\mu_z = \mu_r - \mu_e$$

$$\sigma_z^2 = \sigma_r^2 + \sigma_e^2 $$

Con le ipotesi semplificative introdotte sopra, la probabilità di insuccesso può essere calcolata mediante l'integrale improprio

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{0} f_{z}(z) \; \mathrm{d}z$$

Effettuiamo un cambio di variabile passando dalla variabile $z$ alla variabile $u$, così definita

$$u = \frac{z-\mu_z}{\sigma_z} $$

Il calcolo della probabilità di insuccesso si semplifica ulteriormente diventando pari a

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u$$

in cui abbiamo introdotto il parametro $\beta = \mu_z / \sigma_z$ e la funzione standard di Gauss $f_{std}(u)$. Essendo quest'ultima una funzione simmetrica, possiamo scrivere

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = \int \limits_{\beta}^{\infty} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = 1 - F_{std}\left( \beta \right)$$

E' bene sottolineare che $F_{std}(u)$ è una funzione nota, facilmente determinabile negli ambienti di calcolo matematici di utilizzo normale (excel, calc, matlab, la libreria math del linguaggio C).

La probabilità di insuccesso è quindi funzione del solo parametro $\beta $ che è pertanto un parametro sintetico significativo per valutare il grado di sicurezza della struttura. Chiameremo $\beta$ indice di affidabilità.

I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine.

Il metodo FOSM (First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine e centrato nei valori medi delle variabili aleatorie

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n ) \approx g(\mu_{x,1}, \mu_{x,2}, \dots \mu_{x,n}) + \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i}\right)_{\mu_x} \left( x_i - \mu_{x,i}\right) \\ = g(\mathbf{\mu_x}) + \nabla g_{\mu_x} \cdot \left( \mathbf{x} - \mathbf{\mu_x} \right)$$

Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo

$$\mu_z = g(\mu_{x,1}, \mu_{x,2}, \dots \mu_{x,n})$$

$$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_x} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_x} \sigma_{xi,xj}^2$$

in cui $\sigma_{xi,xj}$ è la covarianza della variabile $x_i$ rispetto alla variabile $x_j$.

Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza della variabile $z$ si semplifica

$$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_x} \sigma_{x,i}^2$$

Anche il metodo AFOSM (Advanced First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine che però viene centrato in un punto $\mathbf{x^{*}}$ scelto in maniera da minimizzare $\beta = \mu_z / \sigma_z$

$$ \beta_{HL} = \min \left\{ \left( \frac{\mu_z}{\sigma_z} \right)_{\mathbf{x^{*}}} \right\}$$

Con i metodi SORM (Second Order Reliabilty Methods) approssimiamo la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al secondo ordine

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) \approx g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right)$$