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@@ Linea 4: / Linea 4: @@
 ===== Stati Limite di deformazione =====
+==== Frecce per le verifiche ====
+Le frecce vengono calcolate con riferimento alla combinazione //rara//.
+La freccia istantanea complessiva è data da
+$$w_{inst} = w_{1,inst} + w_{21,inst} + \sum \limits_{i=2}^{n} \left[ \psi_{2i} \cdot w_{2i,inst} \right] $$
+in cui:
+  * $w_{1,inst}$ è la freccia istantanea per carichi permanenti
+  * $w_{2i,inst}$ è la freccia istantanea per il carico variabile i-esimo
+  * $\psi_{2i}$ è il coefficiente di contemporaneità per il carico variabile i-esimo
+La freccia finale complessiva tiene conto della durata di applicazione del carico e delle condizioni ambientali, ed è data da
+$$w_{fin} = w_{1,inst} \left( 1 + k_{def} \right) + w_{21,inst} \left( 1 + \psi_{21} \cdot k_{def} \right) + \sum \limits_{i=2}^{n} \left[ \psi_{2i} \cdot w_{2i,inst} \left( 1 + k_{def} \right) \right] $$
+In entrambi i casi è possibile definire la freccia netta ottenuta sottraendo la controfreccia $w_{0}$
+$$w_{net} = w - w_{0}$$
+La freccia istantanea dovuta ai carichi variabili è data da
+$$w_{2,inst} = w_{21,inst} + \sum \limits_{i=2}^{n} \left[ \psi_{2i} \cdot w_{2i,inst} \right]$$
+La freccia finale dovuta ai carichi variabili è data da
+$$w_{2,fin} = w_{21,inst} \left( 1 + \psi_{21} \cdot k_{def} \right) + \sum \limits_{i=2}^{n} \left[ \psi_{2i} \cdot w_{2i,inst} \left( 1 + k_{def} \right) \right]$$
+==== LImiti di deformabilità ====
 L'Eurocodice 5 ci fornisce i seguenti intervalli di variazione per i valori limite della inflessione
@@ Linea 23: / Linea 55: @@
   $$w_{fin} \le l / 200$$
-Tali valori sono senz'altro validi nel caso di coperture e solai su cui non insistono elementi rigidi, possono essere invece troppo poco restrittivi nel caso dei solai sui quali insistono tramezzi rigidi e/o pavimentazioni rigide per i quali sarebbe opportuno associare alla verifica della freccia anche la verifica della vibrazione. In alternativa si possono imporre valori di deformazione limite più bassi:
+Tali valori sono senz'altro validi nel caso di coperture e solai su cui non insistono elementi rigidi, possono essere invece troppo poco restrittivi nel caso dei solai sui quali insistono tramezzi rigidi per i quali sarebbe opportuno attestarsi sui limiti superiori forniti dall'EC 5
   * freccia istananea $w_{inst}$
   $$w_{inst} \le l / 500$$
-  * freccia finale depurata della monta iniziale
+  * freccia netta finale
   $$w_{net,fin} \le l / 350$$
   * freccia finale
   $$w_{fin} \le l / 300$$
-I suddetti valori limite sono validi per travi appoggiate. Nel caso di travi a sbalzo possono essere ridotti della metà.
+I suddetti valori limite sono validi per travi appoggiate. Nel caso di travi a sbalzo, indicando con $l$ la lunghezza dello sbalzo, devono essere ridotti della metà.
 ===== Stati Limite di vibrazione =====
-Per solai residenziali con una frequenza principale minore di 8 Hz, sono necessari sutdi specifici.
+Nel caso di solai su cui insistono elementi rigidi è inoltre opportuno associare alla verifica della freccia anche la verifica della vibrazione.
+Per solai residenziali con una frequenza principale minore di 8 Hz, sono necessari studi specifici.
+Nel caso in cui la frequenza principale $f_1$ sia maggiore di 8 Hz, è sufficiente verificare le seguenti limitazioni
+$$ \frac{w}{F} \le a \; [mm/kN]$$
+$$\nu \le b^{\left(f_1 \, \zeta -1\right) } \; \left[\frac{m}{Ns^2}\right]$$
+in cui:
+  * $w$ è la massima deflessione verticale causata da una forza unitario $F = 1 \; kN$ applicata in un punto qualsiasi della struttura e tenendo conto della distribuzione dei carichi;
+  * $\nu$ è la velocità di risposta ad un impulso unitario, vale a dire il massimo valore della velocità iniziale verticale (in m/s) causato dall'applicazione di un impulso unitario (1 Ns) applicato nel punto del solaio con risposta massima; le componenti sopra i 40 Hz possono essere trascurate;
+  * $\zeta$ è il coefficiente di smorzamento (di solito pari a 1% → 0,01)
+  * $a$ e $b$ sono due coefficienti per i quali l'appendice nazionale all'Eurocodice 2 suggerisce $a=1,0 \; mm/kN$ e $b=120$
+I calcoli vanno eseguiti considerando le masse dei soli carichi permanenti.
+Nel caso di solaio rettangolare di dimensioni $b x l$ di luce $l$, la frequenza principale può essere stimata con la relazione
+$$f_{1} = \frac{\pi}{2 l^2} \sqrt{\frac{\left( E \, I \right)_l}{m}}$$
+in cui:
+  * $m$ è la massa per unità di area $kg/m^2$;
+  * $\left(EI\right)_l$ è la rigidezza flessionale equivalente del solaio in direzione perpendicolare alla sua orditura (vedi teoria lastre ortotrope), espressa in $Nm^2/m$.
+Sotto le stesse ipotesi la velocità $\nu$ può essere valutata mediante la relazione
+$$ \nu = \frac{4 \left( 0,4 + 0,6 \cdot n_{40} \right)}{m \cdot b \cdot \ l + 200}$$
-Nel caso in cui la frequenza principale sia maggiore di 8 Hz, è sufficiente verificare le seguenti limitazioni
+in cui:
+  * $\nu$ è espresso in $m/ \left(Ns^2\right)$
+  * $l$ è la luce del solaio, in m;
+  * $b$ è la larghezza del solaio, in m;
+  * $m$ è la massa, in $kg/m$
+  * $n_40$ è il numero di modi di vibrare del primo ordine con frequenza inferiore a 40 Hz, che a sua volta può essere valutato con l'espressione
-$$ \frac{w}{F} \le a mm/kN$$
+$$n_{40} = \left\{ \left[ \left( \frac{40}{f_1} \right)^2 - 1 \right] \left( \frac{b}{l} \right)^4 \frac{\left( E \, I \right)_l}{\left( E \, I \right)_b} \right\}^{0,25}$$
-$$\nu \le b^{f_1 \, \zeta -1 } m/(Ns^2)$$
+  * $\left(EI\right)_b$ è la rigidezza flessionale equivalente del solaio in direzione parallela alla sua orditura (vedi teoria lastre ortotrope), espressa in $Nm^2/m$.
-L'appendice nazionale all'Eurocodice 2 suggerisce $a=1,0 mm/kN$ e $b=120$

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