tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione
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tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2014/05/02 20:22] mickele [Sezione rettangolare] |
tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2021/06/13 13:09] (versione attuale) |
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Linea 42: | Linea 42: | ||
Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l' | Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l' | ||
- | Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: | + | Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: |
===== Compressione in presenza di grande eccentricità ===== | ===== Compressione in presenza di grande eccentricità ===== | ||
Linea 51: | Linea 51: | ||
la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti. | la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti. | ||
- | |||
- | Conviene imporre l' | ||
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- | $$e_y = - \frac{M_z}{N} = 0$$ | ||
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- | $$e_z = - \frac{M_y}{N} = 0$$ | ||
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- | Sotto tali ipotesi l' | ||
- | |||
- | $$E_0 \, \lambda \, S_{y} + E_0 \, \chi_y | ||
Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presente. Per definire tale sezione è possibile procedere: | Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presente. Per definire tale sezione è possibile procedere: | ||
Linea 70: | Linea 60: | ||
Supponiamo $N$ $\left( N < 0 \right)$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo. | Supponiamo $N$ $\left( N < 0 \right)$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo. | ||
- | Indicando con $x$ l' | + | Poniamo l'asse y all' |
- | + | ||
- | $$E_0 \, \lambda \left( b \, x + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) + \chi_y \, E_0 \, \left[ b x \left( \frac{x}{2} - e_z - \frac{h}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - e_z - \frac{h}{2} \right) \right] = N$$ | + | |
- | + | ||
- | Poniamo l'asse y all' | + | |
$$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$ | $$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$ | ||
Linea 88: | Linea 74: | ||
\left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) - N \, x \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2 - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\ | \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) - N \, x \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2 - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\ | ||
- \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 - \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x + \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) + \\ \frac{1}{2} N \, b \, x^3 + N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) x^2 - N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) | - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 - \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x + \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) + \\ \frac{1}{2} N \, b \, x^3 + N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) x^2 - N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) | ||
- | \frac{1}{6} N \, b \, x^3 - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0$$ | + | \frac{1}{6} N \, b \, x^3 - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0 \Longrightarrow \\ |
+ | N \, b \, x^3 - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0$$ | ||
Osserviamo che, nel caso di flessione semplice $(N = 0)$, l' | Osserviamo che, nel caso di flessione semplice $(N = 0)$, l' | ||
+ | |||
+ | E' possibile trovare le radici di un equazione di terzo grado mediante: | ||
+ | * metodi di risoluzione numerica | ||
+ | * formule chiuse (per approfondire l' | ||
+ | |||
+ | Procediamo co quest' | ||
+ | |||
+ | $$a = N \, b \\ | ||
+ | b = - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \\ | ||
+ | c = 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] \\ | ||
+ | d = 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] $$ | ||
+ | |||
+ | trasformando l' | ||
+ | |||
+ | $$a \, x^3 + b \, x^2 + c \, x + d = 0$$ | ||
+ | |||
+ | Facciamo le ulteriori posizioni | ||
+ | |||
+ | $$p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3 a^2} $$ | ||
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+ | $$q = \frac{d}{a} - \frac{bc}{3 a^2} + \frac{2b^3}{27 a^3} $$ | ||
+ | |||
+ | Il metodo risoutivo per il calcolo delle radici prevede quindi di valutare il segno della quantità | ||
+ | |||
+ | $$\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$$ | ||
+ | |||
+ | Nei casi di interesse pratico la suddetta quantità è negativa, quindi occorre calcolare la quantità complessa $- \frac{q}{2} + i \sqrt{-\Delta}$. Assunto pari a $\theta$ la fase di tale numero complesso in forma trgonometrica, | ||
+ | |||
+ | $$ x_{1,2,3} = 2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos \frac{\theta + 2 \; k \; \pi}{3}$$ | ||
+ | |||
+ | con $k = 0, \; 1, \; 2$ | ||
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+ | La soluzione $x$ ricercata, per avere significato fisico, dovrà essere $0 \le x \le h$. | ||
tecnica_costruzioni/cls/ta_pressoflessione.1399054920.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)