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tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione

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tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
Linea 42: Linea 42:
 Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l'unica accortezza di riferirle alla sezione omogeneizzata. Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l'unica accortezza di riferirle alla sezione omogeneizzata.
  
-Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: alla luce dell'ipotesi di comportamento elastico lineare, è necessario verificare che tutta la sezione in calcestruzzo lavori in compressione, e quindi, occorre verificare che non venga tagliata dall'asse neutro.+Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: alla luce dell'ipotesi di comportamento elastico lineare, è necessario verificare che tutta la sezione in calcestruzzo lavori in compressione, e quindi, che non venga tagliata dall'asse neutro.
  
 ===== Compressione in presenza di grande eccentricità ===== ===== Compressione in presenza di grande eccentricità =====
Linea 52: Linea 52:
 la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti.  la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti. 
  
-Conviene imporre l'equilibrio a rotazione rispetto al punto di applicazione dello sforzo normaleChiameremo $\left( e_ye_z \right)$ le coordinate di tale puntoottenute tramite+Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presentePer definire tale sezione è possibile procedere: 
 +  * in generalecon metodi iterativi implementati al calcolatore;  
 +  * nel caso di sezioni di semplice geometriacon formule chiuse.
  
-$$e_y - \frac{M_z}{N} 0$$+==== Sezione rettangolare ====
  
-$$e_z = - \frac{M_y}{N} = 0$$+Supponiamo $N$ $\left( \right)ed $M_yriferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo.
  
-Sotto tali ipotesi l'equazione di equilibrio a rotazione diventa+Poniamo l'asse y all'altezza dell'asse neutro, di modo che $\lambda = 0$. Quindi l'equazione dell'equilibrio a traslazione diventa
  
-$$E_0 \, \lambda \, S_{y+ E_0 \, \chi_y  \, I_{yy} = 0$$+$$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i\left( d_i - x \right) \right] N$$
  
-Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presente. Per definire tale sezione è possibile procedere: +Imponiamo ora l'equilibrio a rotazione rispetto all'asse neutro
-  * in generale, con metodi iterativi implementati al calcolatore;  +
-  * nel caso di sezioni di semplice geometria, con formule chiuse.+
  
-==== Sezione rettangolare ====+$$E_0 \, \chi_y  \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$
  
-FIXME+Dividendo le due equazioni appena scritte, con semplici passaggi otteniamo $x$ risolvendo l'equazione
  
-Supponiamo $N$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo $\left( N 0 \right)$.+$$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\ 
 +\left( M_y + N \frac{h}{2} - N \, x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 - 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right] \Longrightarrow \\ 
 +\left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) - N \, x \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2  - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\  
 +- \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 - \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x  + \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) + \\ \frac{1}{2} N \, b \, x^3 + N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) x^2 - N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right)  \; x  = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2  - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\  
 +\frac{1}{6} N \, b \, x^3 - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = \Longrightarrow \\  
 +N \, b \, x^3 - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0$$
  
-Indicando con $xl'altezza della porzione di sezione reagentele formule dell'equilibrio diventano+Osserviamo che, nel caso di flessione semplice $(N = 0)$, l'equazione si trasforma in quella già vista nel relativo [[tecnica_costruzioni:cls:ta_flessione|paragrafo]].
  
-$$E_0 \, \lambda \leftb \, x + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) + \chi_y \, E_0 \, \leftb x \left( \frac{x}{2} - e_z - \frac{h}{2} \right+ \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - e_z - \frac{h}{2} \right) \right] = N$$+E' possibile trovare le radici di un equazione di terzo grado mediante: 
 +  * metodi di risoluzione numerica 
 +  * formule chiuse (per approfondire l'argomento vedi la [[http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_terzo_grado|pagina di wikipedia sulle equazioni di terzo grado]]).
  
-$$E_0 \, \lambda \left[ b x \left( \frac{x}{2} - e_z - \frac{h}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - e_z - \frac{h}{2} \right) \right] + \\ E_0 \, \chi_y  \left[ \frac{1}{12} b \, x^3 + b \, x \, \left( \frac{x}{2} - e_z - \frac{h}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - e_z - \frac{h}{2} \right)^2 \right] = 0$$+Procediamo co quest'ultima modalità. Per comodità di notazione facciamo le posizioni
  
 +$$a = N \, b \\ 
 +b = - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \\ 
 +c = 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] \\ 
 +d = 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] $$
  
-Nel caso invece avessimo calcolato l'equilibrio a rotazione rispetto all'asse neutro avremmo avuto+trasformando l'equazione nella forma
  
-$$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - \right) \right] N$$+$$\, x^3 + b \, x^2 + \, x + d 0$$
  
-$$E_0 \, \chi_y  \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] = M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$+Facciamo le ulteriori posizioni
  
-Calcoliamo prima $x$+$$p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3 a^2} $$
  
-$$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2- x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N \left[ \frac{1}{3} \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\ +$$q = \frac{d}{a} - \frac{bc}{3 a^2} + \frac{2b^3}{27 a^3} $$ 
-\left( M_y \frac{h}{2- N \x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \\alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i\right) \left[ \frac{1}{3} \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^- 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right]$$+ 
 +Il metodo risoutivo per il calcolo delle radici prevede quindi di valutare il segno della quantità 
 + 
 +$$\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$$ 
 + 
 +Nei casi di interesse pratico la suddetta quantità è negativaquindi occorre calcolare la quantità complessa $- \frac{q}{2} + \sqrt{-\Delta}$. Assunto pari a $\theta$ la fase di tale numero complesso in forma trgonometrica, le soluzioni sono 
 + 
 +$$ x_{1,2,3} = \sqrt{- \frac{p}{3}\cos \frac{\theta + 2 \; k \\pi}{3}$$ 
 + 
 +con $k = 0, \; 1, \; 2$ 
 + 
 +La soluzione $x$ ricercataper avere significato fisico, dovrà essere $0 \le x \le h$.
  
-FIXME 

tecnica_costruzioni/cls/ta_pressoflessione.1399050295.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)

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