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--- tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2014/05/01 15:18]
mickele [Compressione in presenza di eccentricità piccola o nulla]
+++ tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 42: / Linea 42: @@
 Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l'unica accortezza di riferirle alla sezione omogeneizzata.
-Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: alla luce dell'ipotesi di comportamento elastico lineare, è necessario verificare che tutta la sezione in calcestruzzo lavori in compressione, e quindi, occorre verificare che non venga tagliata dall'asse neutro.
+Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: alla luce dell'ipotesi di comportamento elastico lineare, è necessario verificare che tutta la sezione in calcestruzzo lavori in compressione, e quindi, che non venga tagliata dall'asse neutro.
 ===== Compressione in presenza di grande eccentricità =====
-L'analisi dell'equilibrio della sezione ci porterebbe a definire le stesse formule già viste al paragrafo precedente
+L'analisi dell'equilibrio a traslazione della sezione ci porta a riscrivere la formula già vista al paragrafo precedente
 $$\lambda  \, E_0 \, A_\alpha + \chi_y \, E_0 \, S_{\alpha,y}= N$$
-$$E_0 \, \lambda \, S_{\alpha,y} + E_0 \, \chi_y  \, I_{\alpha,yy} = M_y$$
+la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti.
-la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti. L'individuazione di tale sezione può avvenire: in generale con metodi iterativi implementati al calcolatore; nel caso di sezioni di semplice geomtria con formule chiuse.
+Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presente. Per definire tale sezione è possibile procedere:
+  * in generale, con metodi iterativi implementati al calcolatore;
+  * nel caso di sezioni di semplice geometria, con formule chiuse.
 ==== Sezione rettangolare ====
-Supponiamo $N$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo $\left( N < 0 \right)$.
+Supponiamo $N$ $\left( N < 0 \right)$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo.
-Indicando con $x$ l'altezza della porzione di sezione reagente, le formule dell'equilibrio diventano
+Poniamo l'asse y all'altezza dell'asse neutro, di modo che $\lambda = 0$. Quindi l'equazione dell'equilibrio a traslazione diventa
-$$E_0 \, \lambda \left( b \, x + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \right) + \chi_y \, E_0 \, \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$
+$$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$
-$$E_0 \, \lambda \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right) \right] + E_0 \, \chi_y  \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] = M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$
+Imponiamo ora l'equilibrio a rotazione rispetto all'asse neutro
-Assumendo l'origine del sistema di riferimento nell'asse neutro della sezione, abbiamo che $\lambda = 0$. Quindi
+$$E_0 \, \chi_y  \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] = M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$
-$$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$
+Dividendo le due equazioni appena scritte, con semplici passaggi otteniamo $x$ risolvendo l'equazione
-$$E_0 \, \chi_y  \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] = M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$
+$$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\
+\left( M_y + N \frac{h}{2} - N \, x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 - 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right] \Longrightarrow \\
+\left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) - N \, x \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2  - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\
+- \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 - \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x  + \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) + \\ \frac{1}{2} N \, b \, x^3 + N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) x^2 - N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right)  \; x  = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2  - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\
+\frac{1}{6} N \, b \, x^3 - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0 \Longrightarrow \\
+N \, b \, x^3 - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0$$
-Calcoliamo prima $x$
+Osserviamo che, nel caso di flessione semplice $(N = 0)$, l'equazione si trasforma in quella già vista nel relativo [[tecnica_costruzioni:cls:ta_flessione|paragrafo]].
-$$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right) \right] = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\
+E' possibile trovare le radici di un equazione di terzo grado mediante:
-\left( M_y + N \frac{h}{2} - N \, x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \right) = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} d_i^2 - 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \right]$$
+  * metodi di risoluzione numerica
+  * formule chiuse (per approfondire l'argomento vedi la [[http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_terzo_grado|pagina di wikipedia sulle equazioni di terzo grado]]).
+Procediamo co quest'ultima modalità. Per comodità di notazione facciamo le posizioni
+$$a = N \, b \\
+b = - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \\
+c = 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] \\
+d = 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] $$
+trasformando l'equazione nella forma
+$$a \, x^3 + b \, x^2 + c \, x + d = 0$$
+Facciamo le ulteriori posizioni
+$$p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3 a^2} $$
+$$q = \frac{d}{a} - \frac{bc}{3 a^2} + \frac{2b^3}{27 a^3} $$
+Il metodo risoutivo per il calcolo delle radici prevede quindi di valutare il segno della quantità
+$$\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$$
+Nei casi di interesse pratico la suddetta quantità è negativa, quindi occorre calcolare la quantità complessa $- \frac{q}{2} + i \sqrt{-\Delta}$. Assunto pari a $\theta$ la fase di tale numero complesso in forma trgonometrica, le soluzioni sono
+$$ x_{1,2,3} = 2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos \frac{\theta + 2 \; k \; \pi}{3}$$
+con $k = 0, \; 1, \; 2$
+La soluzione $x$ ricercata, per avere significato fisico, dovrà essere $0 \le x \le h$.

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