Usualmente $M_y$ ed $N$ sono riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo.

L'imposizione dell'equilibrio a traslazione ci dà

$$\iint \limits_{S} \sigma_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow \iint \limits_{S} E \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N $$

Valendo il principio di conservazione delle sezioni piane, nell'ipotesi di flessione retta, abbiamo

$$\varepsilon_x = \lambda + \chi_y \; z$$

Possiamo allora riscrivere l'equazione di equilibrio a traslazione

$$E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \left( \lambda + \chi_y \; z \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0 \Longrightarrow \lambda \, E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \chi_y \, E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N$$

Esprimibile anche come

$$\lambda \, E_0 \, A_\alpha + \chi_y \, E_0 \, S_{\alpha,y}= N$$

Lavorando in un sistema baricentrico rispetto alla sezione omogeneizzata $S_{\alpha,y} = 0$, quindi

$$\lambda = \frac{N}{E_0 \, A_\alpha}$$

Analogamente imponendo l'equilibrio a rotazione rispetto al baricentro della sezione in calcestruzzo

$$\iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = M^*_y \Longrightarrow E_0 \, \lambda \iint \limits_{S} \alpha_e \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + E_0 \, \chi_y \iint \limits_{S} \, z^2 \mathrm{d}y \mathrm{d}z = M_y \Longrightarrow \\ E_0 \, \lambda \, S_{\alpha,y} + E_0 \, \chi_y \, I_{\alpha,yy} = M^*_y \Longrightarrow \chi_y = \frac{M^*_y}{E_0 \, I_{\alpha,yy}}$$

$M^*_y$ è ottenuto traslando $N$ ed $M_y$ nel baricentro della sezione omogeneizzata. Supponendo che il sistema di riferimento di partenza sia riferito al baricentro della sola sezione in calcestruzzo, e assumendo $\left( y_{\alpha,G}, z_{\alpha,G} \right)$ le coordinate del baricentro della sezione omogeneizzata, avremo

$$M^*_y = M_y - N \; z_{\alpha,G} $$

Le tensioni saranno pari a

$$\sigma_z = \frac{N}{A_\alpha} + \frac{M^*_y}{I_{\alpha,yy}} y $$

Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l'unica accortezza di riferirle alla sezione omogeneizzata.

Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: alla luce dell'ipotesi di comportamento elastico lineare, è necessario verificare che tutta la sezione in calcestruzzo lavori in compressione, e quindi, occorre verificare che non venga tagliata dall'asse neutro.

L'analisi dell'equilibrio della sezione ci porterebbe a definire le stesse formule già viste al paragrafo precedente

$$\lambda \, E_0 \, A_\alpha + \chi_y \, E_0 \, S_{\alpha,y}= N$$

$$E_0 \, \lambda \, S_{\alpha,y} + E_0 \, \chi_y \, I_{\alpha,yy} = M_y$$

la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti. L'individuazione di tale sezione può avvenire: in generale con metodi iterativi implementati al calcolatore; nel caso di sezioni di semplice geomtria con formule chiuse.

Supponiamo $N$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo $\left( N < 0 \right)$.

Indicando con $x$ l'altezza della porzione di sezione reagente, le formule dell'equilibrio diventano

$$E_0 \, \lambda \left( b \, x + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \right) + \chi_y \, E_0 \, \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$

$$E_0 \, \lambda \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right) \right] + E_0 \, \chi_y \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] = M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$

Assumendo l'origine del sistema di riferimento nell'asse neutro della sezione, abbiamo che $\lambda = 0$. Quindi

$$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$

$$E_0 \, \chi_y \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] = M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$

Calcoliamo prima $x$

$$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right) \right] = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\ \left( M_y + N \frac{h}{2} - N \, x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \right) = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} d_i^2 - 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{s,i} \right]$$