====== Flessione ======

===== Flessione retta in una sezione rettangolare =====

Per individuare la posizione dell'asse neutro imponiamo l'annullamento del momento statico della porzione di sezione reagente, avendo cura di introdurre un coefficiente di omogeneizzazione $\alpha_e$ per tener conto dei diversi moduli di elasticità normale dei materiali

$$ \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i \, A_{sl,i} \left( x - d_i \right) = 0$$

in cui:
  - $x$ è la distanza dell'asse neutro dal bordo superiore compresso
  - $\alpha_e$ è il coefficiente di omogeneizzazione
  - $A_{sl,i}$ è l'area dell'armatura i-esima
  - $d_{i}$ è la distanza dal lembo superiore compresso dell'armatura i-esima
  - $b$ è la base della sezione rettangolare

L'equazione può essere scritta nella forma

$$ \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) x - \alpha_e \sum \limits_i \, A_{sl,i} d_i = 0$$

che,  nel nostro caso, ha come soluzione accettabile

$$x = \frac{- \alpha_e \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) + \sqrt{ \alpha_e^2 \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right)^2 + 2 \, b \, \alpha_e \sum \limits_i \, A_{sl,i} d_i } }{b}$$

Nota la posizione dell'asse neutro, calcoliamo il momento di inerzia della sezione omogenerizzata

$$ J_\alpha = \frac{1}{3} b x^3 + \alpha_e \sum \limits_i \, A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 =
\frac{1}{3} b x^3 + \alpha_e \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \, d_i^2 - 2 \, x \sum \limits_i \, A_{sl,i} \, d_i + x^2 \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) $$

La tensione massima nel calcestruzzo $\sigma_{c,max}$ è data da

$$\sigma_{c,max} = \frac{M}{ J_\alpha} x$$

La tensione nell'armatura i-esima $\sigma_{s,i}$ è data da

$$\sigma_{s,i} = \alpha_e \frac{M}{ J_\alpha} \left( d_i - x \right)$$

Può essere utile introdurre delle variabili adimensionali così definite

$$\xi = \frac{x}{d_{max}}$$

$$\rho_i = \frac{A_{sl,i}}{b \cdot d_{max}}$$

$$\delta_i = \frac{d_{i}}{d_{max}}$$

Con queste posizioni l'equazione per individuare $\xi$ può essere ricavata da quella gia vista per $x$, dividendo primo e secondo membro per $d_{max}$

$$\xi = \left( - \alpha_e \sum \limits_i \, \rho_{i} + \sqrt{ \alpha_e^2 \left( \sum \limits_i \, \rho_{i} \right)^2 + 2 \, \alpha_e \sum \limits_i \, \rho_{i} \, \delta_i } \right) $$
===== Flessione retta in una sezione a T =====

Se l'asse neutro taglia la soletta ($x \le t$) è possibile usare le equazioni viste sopra. Nel caso invece l'asse neutro tagli l'anima della sezione ($x > t$), è necessario riscrivere l'equazione di annullamento del momento statico della sezione reagente omogeneizzata

$$ \frac{1}{2} b_0 \, x^2 + (b - b_0) \cdot t \cdot \left( x - \frac{t}{2} \right) + \alpha \sum \limits_i \, A_{sl,i} \left( x - d_i \right) = 0$$

in cui:
  - $x$ è la distanza dell'asse neutro dal bordo superiore compresso
  - $\alpha$ è il coefficiente di omogeneizzazione
  - $A_{sl,i}$ è l'area dell'armatura i-esima
  - $d_{i}$ è la distanza dal lembo superiore compresso dell'armatura i-esima
  - $b$ è la larghezza della piattabanda superiore
  - $b_0$ è lo spessore dell'anima
  - $t$ è lo spessore della piattabanda superiore

L'equazione può essere scritta nella forma

$$ \frac{1}{2} b_0 \, x^2 + \left[ (b - b_0) \cdot t + \alpha \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) \right] x - \left[  (b - b_0) \frac{t^2}{2} + \alpha \sum \limits_i \, A_{sl,i} d_i \right] = 0$$

la cui soluzione è

$$x = \frac{- \left[ (b - b_0) \cdot t + \alpha \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) \right] + \sqrt{ \left[ (b - b_0) \cdot t + \alpha \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) \right]^2 + 2 \, b_0 \, \left[  (b - b_0) \frac{t^2}{2} + \alpha \sum \limits_i \, A_{sl,i} d_i \right] }}{b_0}$$

Nota la posizione dell'asse neutro, calcoliamo il momento di inerzia della sezione omogeneizzata

$$ J_\alpha = \frac{1}{3} b_0 x^3 + \left[ \frac{1}{12} b \cdot t^3 + b \cdot t \cdot \left( x - \frac{t}{2} \right)^2 \right] + \alpha \sum \limits_i \, A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2$$

Per il calcolo delle tensioni usiamo le relazioni già viste al paragrafo rpecedente

$$\sigma_{c,max} = \frac{M}{ J_\alpha} x$$

$$\sigma_{s,i} = \alpha \frac{M}{ J_\alpha} \left( d_i - x \right)$$