Per il calcolo dello sforzo massimo resistente per torsione di una sezione sono possibili due approcci, che portano alle stesse formule di verfiica.
La tensione $\tau_{T,i}$ presente nell'i-esima parete a seguito della torsione $T$ è ottenuto dalla formula di Bredt
$$\tau_{T} = \frac{T}{2 \, A_k \, t_{eff}}$$
Lo sforzo complessivo nella parete i-esima è dato da
$$V_{T} = \tau_{T} \, t_{eff} \, z_i = \frac{z_i}{2 \, A_k} T $$
Verifichiamo quindi ciascuna parete con le formule già viste per il taglio.
Il taglio massimo per le bielle compresse in cls è dato da
$$V_{Rd,c} = \frac{\alpha_{cw} \, {t_{eff} \, z_i \, \nu_1 \, f_{cd}} }{\cot \theta + \tan \theta}$$
Uguagliando $V_{Rd,c}$ a $V_{T,i}$ otteniamo
$$\frac{\alpha_{cw} \, {t_{eff} \, z_i \, \nu_1 \, f_{cd}} }{\cot \theta + \tan \theta} = \frac{z_i}{2 \, A_k} T$$
da cui ricaviamo lo sforzo di torsione massimo per le bielle in calcestruzzo
$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, {t_{eff}} }{\cot \theta + \tan \theta} \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$
Il taglio massimo per l'armatura trasversale è
$$V_{Rd,w} = \frac{A_{sw}}{s} z_i \, f_{ywd} \, \cot \theta$$
Ugliagliandolo a $V_{T,i}$ possiamo scrivere
$$\frac{A_{sw}}{s} z_i \, f_{ywd} \, \cot \theta = \frac{z_i}{2 \, A_k} T \Longrightarrow \frac{A_{sw}}{s} f_{ywd} \, \cot \theta = \frac{1}{2 \, A_k} T$$
da cui con semplici passaggi otteniamo lo sforzo di torsione massimo compatibile con l'armatura trasversale
$$T_{Rd,sw} = \frac{2 \, A_k \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd} $$
L'incremento di sforzo nell'armatura longitudinale è dato da
$$\Delta F_{td} = V_{T,i} \, \cot \theta$$
il doppio del valore già visto per il taglio perché questa volta non abbiamo correnti compressi.
Sostituendo il valore di $V_{T,i}$ visto sopra otteniamo
$$\Delta F_{td} = \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$
che ci fornisce l'incremento di sforzo nelle armature longitudinali di ciascun tratto della nostra sezione.
Poiche a rottura avremo
$$\Delta F_{td} = A_{sl,i} \, f_{yld}$$
l'espressione vista sopra diventa
$$A_{sl,i} \, f_{yld} = \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$
Sommando su tutte le pareti della sezione otteniamo
$$\sum \limits_i A_{sl,i} \, f_{yld} = \sum \limits_i \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$
che infine diventa
$$A_{sl} \, f_{yld} = \frac{u_k \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$
Quindi lo sforso torcente massimo dovuto alle armature longitudinali è pari a
$$T_{rd,sl} = \frac{2 \, A_k}{u_k \, \cot \theta} A_{sl} \, f_{yld}$$
Il momento torcente resistente effettivo del tratto di trave è il minore dei tre
$$T_{Rd} = \min \left\{ T_{Rd,c} , T_{Rd,sw} , T_{Rd,sl}\right\} $$
La verifica a duttilità nel caso della torsione diventa
$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff,i}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$
Dall'analisi del traliccio tridimensionale otteniamo che, dato uno sforzo di torsione $T$
$$\sigma_c = \frac{\cot \theta \, \tan \theta}{2 \, A_k \, t_{eff}} T_{Ed}$$
$$\sigma_{sw} = \frac{s \, }{2 \, A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta} T_{Ed}$$
$$\sigma_{sl} = \frac{u_k }{2 \, A_{k} \, A_{sl} \, \tan \theta} T_{Ed}$$
Per calcolare lo sforzo di torsione massimo lato cls imponiamo $\sigma_c = \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$, arrivando a scrivere
$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, t_{eff}}{\cot \theta + \tan \theta} \, \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$
Per lo sforzo di torsione massimo lato armatura trasversale imponiamo invece, più semplicemente, $\sigma_s = f_{ywd}$, ottenendo
$$T_{Rd,sw} = \frac{2 A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd}$$
La torsione resistente massima lato armatura longitudinale è invece data da
$$T_{Rd,sl} = \frac{2 \, A_{k} }{u_k \, \cot \theta} \, A_{sl} \, f_{yld}$$
Anche in questo caso, come per il taglio, dobbiamo effettuare la verifica a duttilità
$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$
La resistenza torsionale vale in funzione di $\theta$.
Si verifica che, per gli intervalli di interesse, $T_{Rd,sw}$ è decrescente con $\theta$; $T_{Rd,c}$ è invece crescente con $\theta$. Perciò per massimizzare la resistenza torsionale uguagliamo la resistenza torsionale lato calcestruzzo con quella lato acciaio.
$$ \frac{2 A_k t_{eff}}{\cot \theta + \tan \theta } \alpha_{cw} \nu_1 f_{cd} = \frac{2 A_k \, A_{sw} \cot \theta}{s} f_{ywd} \Longrightarrow \\ \cot \theta = \sqrt{\alpha_{cw} \nu_1 t_{eff} \frac{f_{cd}}{f_{ywd}} \frac{s}{A_{sw}} - 1 }$$
$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, t_{eff}}{\cot \theta + \tan \theta} \, \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$
$$T_{Rd,sw} = \frac{2 A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd}$$
$$T_{Rd,sl} = \frac{2 \, A_{k} }{u_k \, \cot \theta} \, A_{sl} \, f_{yld}$$
$$T_{Rd} = \min \left\{ T_{Rd,c} , T_{Rd,sw} , T_{Rd,sl}\right\} $$
$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$