====== Cemento armato - SLU - Torsione ======

Per il calcolo dello sforzo massimo resistente per torsione di una sezione sono possibili due approcci, che portano alle stesse formule di verfiica.

===== Calcolo mediante formula di Bredt =====

  * $A$ - area della sezione
  * $u$ - perimetro esterno della sezione
  * $t_{eff,i}$ - spessore fittizio parete i-esima - $2 \, c \le t_{eff,i} \le A/u \le t_{reale}$
  * $A_{k}$ - area racchiusa dalla linea media della sezione fittizia ottenuta considerando dalla sezione il solo spessore fittizio
  * $u_{k}$ - perimetro della linea media della sezione fittiza
  * $z_i$ - lunghezza della parete i-esima della linea media
  * $A_{sl}$ - area delle armatura longitudinale
  * $A_{sw}$ - area delle staffe chiuse ortogonali all'asse della trave
  * $s$ - passo delle staffe
  * $\theta$ - inclinazione delle bielle compresse rispetto all'asse della trave

La tensione $\tau_{T,i}$ presente nell'i-esima parete a seguito della torsione $T$ è ottenuto dalla formula di Bredt

$$\tau_{T} = \frac{T}{2 \, A_k \, t_{eff}}$$

Lo sforzo complessivo nella parete i-esima è dato da

$$V_{T} = \tau_{T} \, t_{eff} \, z_i = \frac{z_i}{2 \, A_k} T $$

Verifichiamo quindi ciascuna parete con le formule già viste per il taglio.

Il taglio massimo per le bielle compresse in cls è dato da

$$V_{Rd,c} = \frac{\alpha_{cw} \, {t_{eff} \, z_i \, \nu_1 \, f_{cd}}  }{\cot \theta + \tan \theta}$$

Uguagliando $V_{Rd,c}$ a $V_{T,i}$ otteniamo

$$\frac{\alpha_{cw} \, {t_{eff} \, z_i \, \nu_1 \, f_{cd}}  }{\cot \theta + \tan \theta} = \frac{z_i}{2 \, A_k} T$$

da cui ricaviamo lo sforzo di torsione massimo per le bielle in calcestruzzo

$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, {t_{eff}}  }{\cot \theta + \tan \theta} \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$

Il taglio massimo per l'armatura trasversale è

$$V_{Rd,w} = \frac{A_{sw}}{s} z_i \, f_{ywd} \, \cot \theta$$

Ugliagliandolo a $V_{T,i}$ possiamo scrivere

$$\frac{A_{sw}}{s} z_i \, f_{ywd} \, \cot \theta = \frac{z_i}{2 \, A_k} T
\Longrightarrow
\frac{A_{sw}}{s} f_{ywd} \, \cot \theta = \frac{1}{2 \, A_k} T$$

da cui con semplici passaggi otteniamo lo sforzo di torsione massimo compatibile con l'armatura trasversale

$$T_{Rd,sw} = \frac{2 \, A_k \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd} $$

L'incremento di sforzo nell'armatura longitudinale è dato da

$$\Delta F_{td} = V_{T,i} \, \cot \theta$$

il doppio del valore già visto per il taglio perché questa volta non abbiamo correnti compressi.

Sostituendo il valore di $V_{T,i}$ visto sopra otteniamo

$$\Delta F_{td} = \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$

che ci fornisce l'incremento di sforzo nelle armature longitudinali di ciascun tratto della nostra sezione.

Poiche a rottura avremo

$$\Delta F_{td} = A_{sl,i} \, f_{yld}$$

l'espressione vista sopra diventa

$$A_{sl,i} \, f_{yld} = \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$

Sommando su tutte le pareti della sezione otteniamo

$$\sum \limits_i A_{sl,i} \, f_{yld} = \sum \limits_i \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$

che infine diventa

$$A_{sl} \, f_{yld} = \frac{u_k \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$

Quindi lo sforso torcente massimo dovuto alle armature longitudinali è pari a

$$T_{rd,sl} = \frac{2 \, A_k}{u_k \, \cot \theta} A_{sl} \, f_{yld}$$

Il momento torcente resistente effettivo del //tratto di trave// è il minore dei tre

$$T_{Rd} = \min \left\{ T_{Rd,c} , T_{Rd,sw} , T_{Rd,sl}\right\} $$

La verifica a duttilità nel caso della torsione diventa

$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff,i}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$
===== Calcolo mediante traliccio tridimensionale =====

Dall'analisi del traliccio tridimensionale otteniamo che, dato uno sforzo di torsione $T$

  * la tensione $\sigma_{c}$ nelle bielle compresse è

$$\sigma_c = \frac{\cot \theta \, \tan \theta}{2 \, A_k \, t_{eff}} T_{Ed}$$

  * la tensione $\sigma_{sw}$ nell'armatura trasversale è

$$\sigma_{sw} = \frac{s \, }{2 \, A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta} T_{Ed}$$

  * la tensione $\sigma_{sl}$ nell'armatura longitudinale è

$$\sigma_{sl} = \frac{u_k }{2 \, A_{k} \, A_{sl} \, \tan \theta} T_{Ed}$$

Per calcolare lo sforzo di torsione massimo lato cls imponiamo $\sigma_c = \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$, arrivando a scrivere

$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, t_{eff}}{\cot \theta + \tan \theta} \, \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$

Per lo sforzo di torsione massimo lato armatura trasversale imponiamo invece, più semplicemente, $\sigma_s = f_{ywd}$, ottenendo

$$T_{Rd,sw} = \frac{2 A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd}$$

La torsione resistente massima lato armatura longitudinale è invece data da

$$T_{Rd,sl} = \frac{2 \, A_{k} }{u_k \, \cot \theta} \, A_{sl} \, f_{yld}$$

Anche in questo caso, come per il taglio, dobbiamo effettuare la verifica a duttilità

$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$

===== Calcolo resistenza torsionale massima =====

La resistenza torsionale vale in funzione di $\theta$.

Si verifica che, per gli intervalli di interesse, $T_{Rd,sw}$ è decrescente con $\theta$; $T_{Rd,c}$ è invece crescente con $\theta$. Perciò per massimizzare la resistenza torsionale uguagliamo la resistenza torsionale lato calcestruzzo con quella lato acciaio.

$$ \frac{2 A_k t_{eff}}{\cot \theta + \tan \theta } \alpha_{cw} \nu_1 f_{cd} = \frac{2 A_k \, A_{sw} \cot \theta}{s} f_{ywd} \Longrightarrow \\
\cot \theta = \sqrt{\alpha_{cw} \nu_1 t_{eff} \frac{f_{cd}}{f_{ywd}} \frac{s}{A_{sw}} - 1 }$$
===== Formule applicative =====

$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, t_{eff}}{\cot \theta + \tan \theta} \, \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$

$$T_{Rd,sw} = \frac{2 A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd}$$

$$T_{Rd,sl} = \frac{2 \, A_{k} }{u_k \, \cot \theta} \, A_{sl} \, f_{yld}$$

$$T_{Rd} = \min \left\{ T_{Rd,c} , T_{Rd,sw} , T_{Rd,sl}\right\} $$

$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$