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--- tecnica_costruzioni:cls:slu_torsione [2012/12/29 16:23]
mickele [Calcolo mediante formula di Bredt]
+++ tecnica_costruzioni:cls:slu_torsione [2021/06/13 13:09]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Cemento armato - SLU - Torsione ======
-Per il calcolo dello sforzo massimo resistente per torsione di una sezione sono possibili due approcci, che portano alle stesse formule di verfiica.
-===== Calcolo mediante formula di Bredt =====
-  * $A$ - area della sezione
-  * $u$ - perimetro esterno della sezione
-  * $t_{eff,i}$ - spessore fittizio parete i-esima - $2 \, c \le t_{eff,i} \le A/u \le t_{reale}$
-  * $A_{k}$ - area racchiusa dalla linea media della sezione fittizia ottenuta considerando dalla sezione il solo spessore fittizio
-  * $u_{k}$ - perimetro della linea media della sezione fittiza
-  * $z_i$ - lunghezza della parete i-esima della linea media
-  * $A_{sl}$ - area delle armatura longitudinale
-  * $A_{sw}$ - area delle staffe chiuse ortogonali all'asse della trave
-  * $s$ - passo delle staffe
-  * $\theta$ - inclinazione delle bielle compresse rispetto all'asse della trave
-La tensione $\tau_{T,i}$ presente nell'i-esima parete a seguito della torsione $T$ è ottenuto dalla formula di Bredt
-$$\tau_{T} = \frac{T}{2 \, A_k \, t_{eff}}$$
-Lo sforzo complessivo nella parete i-esima è dato da
-$$V_{T} = \tau_{T} \, t_{eff} \, z_i = \frac{z_i}{2 \, A_k} T $$
-Verifichiamo quindi ciascuna parete con le formule già viste per il taglio.
-Il taglio massimo per le bielle compresse in cls è dato da
-$$V_{Rd,c} = \frac{\alpha_{cw} \, {t_{eff} \, z_i \, \nu_1 \, f_{cd}}  }{\cot \theta + \tan \theta}$$
-Uguagliando $V_{Rd,c}$ a $V_{T,i}$ otteniamo
-$$\frac{\alpha_{cw} \, {t_{eff} \, z_i \, \nu_1 \, f_{cd}}  }{\cot \theta + \tan \theta} = \frac{z_i}{2 \, A_k} T$$
-da cui ricaviamo lo sforzo di torsione massimo per le bielle in calcestruzzo
-$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, {t_{eff}}  }{\cot \theta + \tan \theta} \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$
-Il taglio massimo per l'armatura trasversale è
-$$V_{Rd,w} = \frac{A_{sw}}{s} z_i \, f_{ywd} \, \cot \theta$$
-Ugliagliandolo a $V_{T,i}$ possiamo scrivere
-$$\frac{A_{sw}}{s} z_i \, f_{ywd} \, \cot \theta = \frac{z_i}{2 \, A_k} T
-\Longrightarrow
-\frac{A_{sw}}{s} f_{ywd} \, \cot \theta = \frac{1}{2 \, A_k} T$$
-da cui con semplici passaggi otteniamo lo sforzo di torsione massimo compatibile con l'armatura trasversale
-$$T_{Rd,sw} = \frac{2 \, A_k \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd} $$
-L'incremento di sforzo nell'armatura longitudinale è dato da
-$$\Delta F_{td} = V_{T,i} \, \cot \theta$$
-il doppio del valore già visto per il taglio perché questa volta non abbiamo correnti compressi.
-Sostituendo il valore di $V_{T,i}$ visto sopra otteniamo
-$$\Delta F_{td} = \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$
-che ci fornisce l'incremento di sforzo nelle armature longitudinali di ciascun tratto della nostra sezione.
-Poiche a rottura avremo
-$$\Delta F_{td} = A_{sl,i} \, f_{yld}$$
-l'espressione vista sopra diventa
-$$A_{sl,i} \, f_{yld} = \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$
-Sommando su tutte le pareti della sezione otteniamo
-$$\sum \limits_i A_{sl,i} \, f_{yld} = \sum \limits_i \frac{z_i \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$
-che infine diventa
-$$A_{sl} \, f_{yld} = \frac{u_k \, \cot \theta}{2 \, A_k} T$$
-Quindi lo sforso torcente massimo dovuto alle armature longitudinali è pari a
-$$T_{rd,sl} = \frac{2 \, A_k}{u_k \, \cot \theta} A_{sl} \, f_{yld}$$
-Il momento torcente resistente effettivo del //tratto di trave// è il minore dei tre
-$$T_{Rd} = \min \left\{ T_{Rd,c} , T_{Rd,sw} , T_{Rd,sl}\right\} $$
-La verifica a duttilità nel caso della torsione diventa
-$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff,i}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$
-===== Calcolo mediante traliccio tridimensionale =====
-Dall'analisi del traliccio tridimensionale otteniamo che, dato uno sforzo di torsione $T$
-  * la tensione $\sigma_{c}$ nelle bielle compresse è
-$$\sigma_c = \frac{\cot \theta \, \tan \theta}{2 \, A_k \, t_{eff}} T_{Ed}$$
-  * la tensione $\sigma_{sw}$ nell'armatura trasversale è
-$$\sigma_{sw} = \frac{s \, }{2 \, A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta} T_{Ed}$$
-  * la tensione $\sigma_{sl}$ nell'armatura longitudinale è
-$$\sigma_{sl} = \frac{u_k }{2 \, A_{k} \, A_{sl} \, \tan \theta} T_{Ed}$$
-Per calcolare lo sforzo di torsione massimo lato cls imponiamo $\sigma_c = \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$, arrivando a scrivere
-$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, t_{eff}}{\cot \theta + \tan \theta} \, \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$
-Per lo sforzo di torsione massimo lato armatura trasversale imponiamo invece, più semplicemente, $\sigma_s = f_{ywd}$, ottenendo
-$$T_{Rd,sw} = \frac{2 A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd}$$
-La torsione resistente massima lato armatura longitudinale è invece data da
-$$T_{Rd,sl} = \frac{2 \, A_{k} }{u_k \, \cot \theta} \, A_{sl} \, f_{yld}$$
-Anche in questo caso, come per il taglio, dobbiamo effettuare la verifica a duttilità
-$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$
-===== Formule applicative =====
-$$T_{Rd,c} = \frac{2 \, A_k \, t_{eff}}{\cot \theta + \tan \theta} \, \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$
-$$T_{Rd,sw} = \frac{2 A_{k} \, A_{sw} \, \cot \theta }{s} \, f_{ywd}$$
-$$T_{Rd,sl} = \frac{2 \, A_{k} }{u_k \, \cot \theta} \, A_{sl} \, f_{yld}$$
-$$T_{Rd} = \min \left\{ T_{Rd,c} , T_{Rd,sw} , T_{Rd,sl}\right\} $$
-$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{t_{eff}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$

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