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--- tecnica_costruzioni:cls:slu_taglio [2013/01/03 16:52]
mickele [Elementi che non richiedono armatura a taglio]
+++ tecnica_costruzioni:cls:slu_taglio [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 53: / Linea 53: @@
   * $k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \le 2,0$, con $d$ espresso in $mm$, è il contributo dell'effetto ingranamento
   * $\rho_l = \frac{A_{sl}}{b_w \, d} \le 0,02$, in cui $A_{sl}$ è l'area dell'armatura longitudinale nella porzione fessurata della sezione, valutata tenendo conto della lunghezza di ancoraggio e della presenza di fessure inclinate di 45°; tale termine ci permette di valutare l'effetto spinotto;
-  * $\sigma_{cp} = \frac{N_{Ed}}{A_c} < 0,2 \, f_{cd}$; questo termine è legato all'analisi dello stato di tensione piano del corrente compresso: aumentando le tensioni di compressione, diminuisce la tensione principale di trazione;
+  * $\sigma_{cp} = \frac{N_{Ed}}{A_c} < 0,2 \, f_{cd}$, espresso in MPa; questo termine è legato all'analisi dello stato di tensione piano del corrente compresso: aumentando le tensioni di compressione, diminuisce la tensione principale di trazione;
   * $b_w$ è la larghezza minima dell'area tesa; la resistenza a taglio dipende quindi dalla larghezza minima della sezione, risultando poco significativa la presenza di variazioni della sezione trasversali al taglio
   * $d$ è l'altezza utile della sezione in mm
   * $C_{Rd} = \frac{0,18}{\gamma_c}$
   * $k_1$ è un coefficiente il cui valore raccomandato è 0,15
+  * $V_{Rd,c}$ è espresso in N
 Il termine $V_{Rd,c}$ deve essere comunque compreso tra un valore minimo
@@ Linea 71: / Linea 72: @@
 in cui:
-  * $\nu = 0,6 \left( 1 - \frac{f_{ck}}{250} \right)$ ($f_{ck}$ espresso in MPa) è un fattore che tiene conto della riduzione della resistenza a compressione nel cls fessurato a taglio.
+  * $\nu = 0,6 \left( 1 - \frac{f_{ck}}{250} \right)$ - resistenza caratteristica del cls $f_{ck}$ espressa in MPa - $\nu$ tiene conto della riduzione della resistenza a compressione nel cls fessurato per la presenza di taglio
 ===== Elementi che richiedono armatura a taglio =====
 ==== Calcolo degli sforzi nel traliccio di Morsch ====
-  * $z$ - braccio di leva interno alla sezione (di solito assunto pari a $0,9 d$)
-  * $A_{sl}$ - area delle armatura longitudinale
-  * $A_{sw}$ - area armatura trasversale
-  * $s$ - passo dell'armatura trasversale (e.g. numero di armature trasversali per unità di lunghezza)
-  * $\alpha$ - inclinazione delle armature trasversali rispetto all'asse della trave
-  * $\theta$ - inclinazione delle bielle compresse rispetto all'asse della trave ($1 \le \cot \theta \le 2,5$)
 Il modello di calcolo impiegato per valutare la capacità resistente presuppone la formazione di un traliccio reticolare isostatico costituito da:
@@ Linea 89: / Linea 85: @@
   * aste di parete compresse: calcestruzzo compresso d'anima (aste ideali inclinate di $\theta$ rispetto all'asse della trave)
   * aste di parete tese: armatura trasversale, inclinata di $\alpha$ rispetto all'asse della trave
+Nella trattazione che segue assumeremo:
+  * $z$ - braccio di leva interno alla sezione (di solito assunto pari a $0,9 d$)
+  * $A_{sl}$ - area delle armatura longitudinale inferiore
+  * $A_{sw}$ - area armatura trasversale
+  * $s$ - passo dell'armatura trasversale (numero di armature trasversali per unità di lunghezza)
+  * $\alpha$ - inclinazione delle armature trasversali rispetto all'asse della trave
+  * $\theta$ - inclinazione delle bielle compresse rispetto all'asse della trave ($1 \le \cot \theta \le 2,5$)
 Tagliamo il traliccio di Morsch parallelamente ad una biella compressa. Taglieremo in questo $n_{sw}$ armature trasversali, con $n_{sw}$ pari a
@@ Linea 98: / Linea 103: @@
 $$Z_{sw} = \sigma_{sw} \, A_{sw}$$
-La componente verticale della risultante degli sforzi delle armature sarà uguale al taglio agente $V_{Ed}$
+La componente verticale della risultante degli sforzi delle armature sarà uguale al taglio $V$
 $$V = Z_{sw} \, n_{sw} \, \sin \alpha = \sigma_{sw} \, A_{sw} \, \frac{z \, \left(\cot \theta + \cot \alpha \right) }{s} \, \sin \alpha$$
@@ Linea 136: / Linea 141: @@
 Indicando con $C_l$ $T_l$ la risultante degli sforzi, rispettivamente, nel corrente compresso e in quello teso, dall'equilibrio a traslazione orizzontale otteniamo
-$$N_{Ed} = Z_l + - C_l  + Z_{sw} \, n_{sw} \, \cos \alpha - C_{cw} \, n_{cw} \, \cos \theta$$
+$$N = Z_l + - C_l  + Z_{sw} \, n_{sw} \, \cos \alpha - C_{cw} \, n_{cw} \, \cos \theta$$
-in cui $N_{Ed}$ è lo sforzo normale agente nella sezione.
+in cui $N$ è lo sforzo normale agente nella sezione.
 Sostituendo le relazioni viste sopra tra $Z_{sw} \, n_{sw}$ e $V$ e tra $C_{cw} \, n_{cw}$ e $V$, possiamo scrivere
-$$N_{Ed} = Z_l - C_l  - V_{Ed} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right)$$
+$$N = Z_l - C_l  - V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right)$$
 Essendo $z$ il braccio di leva interno alla sezione, introduciamo la grandezza $\psi$ tale che $\psi \, z$ risulti pari alla distanza tra il corrente teso ed i punto di applicazione dello sforzo normale (di solito è il baricentro della sezione in calcestruzzo).
@@ Linea 148: / Linea 153: @@
 Imponendo l'equilibrio a rotazione rispetto al punto di applicazione dello sforzo normale
-$$Z_l \, \psi \, z + C_l (1 - \psi) z = M_{Ed}$$
+$$Z_l \, \psi \, z + C_l (1 - \psi) z = M$$
 che con le relazioni viste su ci dà
-$$C_l = \frac{M_{Ed}}{z} - \psi \, \left[ N_{Ed} + V_{Ed} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$
+$$C_l = \frac{M}{z} - \psi \, \left[ N + V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$
-$$Z_l = \frac{M_{Ed}}{z} + (1 - \psi) \left[ N_{Ed} + V_{Ed} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$
+$$Z_l = \frac{M}{z} + (1 - \psi) \left[ N + V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$
-Per leggere meglio tali formule supponiamo di avere sforzo normale nullo ($N_{Ed} = 0$) e che $\psi = 0.5$. Sotto tali ipotesi abbiamo
+Per leggere meglio tali formule supponiamo di avere sforzo normale nullo ($N = 0$) e che $\psi = 0.5$. Sotto tali ipotesi abbiamo
-$$C_l = \frac{M_{Ed}}{z} - \frac{V_{Ed}}{2} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) $$
+$$C_l = \frac{M}{z} - \frac{V}{2} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) $$
-$$Z_l = \frac{M_{Ed}}{z} + \frac{V_{Ed}}{2} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) $$
+$$Z_l = \frac{M}{z} + \frac{V}{2} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) $$
 Nel caso non avessimo taglio avremmo invece
-$$C_l = Z_l = \frac{M_{Ed}}{z}$$
+$$C_l = Z_l = \frac{M}{z}$$
 La presenza del taglio $V$ modifica lo stato di sforzo nei correnti rispetto a quanto si ha nel caso di pressoflessione semplice senza taglio: la sollecitazione nel corrente compresso diminuisce, quella nel corrente teso aumenta.
@@ Linea 178: / Linea 183: @@
 Applicando le formule del paragrafo precedente, con i vincoli normativi appena visti, arriviamo a valutare il taglio massimo lato calcestruzzo pari a
-$$V_{Rd,c} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}} (\cot \theta + \cot \alpha) }{1 + \cot^2 \theta}$$
+$$V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}} (\cot \theta + \cot \alpha) }{1 + \cot^2 \theta}$$
+in cui:
+  * $\nu_1 = 0,60 \left( 1 - f_{ck} / 250 \right) $ (con $f_{ck}$ in MPa); se $f_{yd} \le 0.80 \cdot f_{yk}$, possiamo assumere $\nu_1=0,6$ con $f_{ck} \le 60 MPa$, $\nu_1=0,9 - f_{ck} / 200 > 0,50 $ con $f_{ck} \ge 60 MPa$
+  * $\alpha_{cw} = 1.0$ per strutture non precompresse, altrimenti
+    * $\alpha_{cw} = 1 + \sigma_{cp} / f_{cd}$ per $0 < \sigma_{cp} \le 0,25 f_{cd}$
+    * $\alpha_{cw} = 1,25$ per $0,25 f_{cd} < \sigma_{cp} \le 0,5 f_{cd}$
+    * $\alpha_{cw} = 2,5 \left( 1 - \sigma_{cp} / f_{cd} \right)$ per $0,5 f_{cd} < \sigma_{cp} \le f_{cd}$
 Lato acciaio abbiamo invece
-$$V_{Rd,sw} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, (\cot \theta + \cot \alpha) \sin \alpha$$
+$$V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, (\cot \theta + \cot \alpha) \sin \alpha$$
 Per quanto riguarda l'incremento dello sforzo nell'armatura longitudinale, abbiamo visto che tale sforzo dipende in generale dalla distanza tra il punto rispetto al quale è riferito lo sforzo normale e l'armatura tesa. La normativa ci permette di semplificare tale verifica assumendo tale distanza pari a $z/2$, ottenendo
@@ Linea 195: / Linea 208: @@
   * il taglio massimo per le bielle compresse in cls è dato da
-$$V_{Rd,c} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}}  }{\cot \theta + \tan \theta}$$
+$$V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}}  }{\cot \theta + \tan \theta}$$
   * il taglio massimo per l'armatura trasversale è
-$$V_{Rd,sw} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, \cot \theta$$
+$$V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, \cot \theta$$
   * l'incremento di sforzo nell'armatura longitudinale è dato da
@@ Linea 209: / Linea 222: @@
 $$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{b_{w}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$
+==== Calcolo inclinazione biella compressa ====
+Fissato un certo valore di $\theta$, la resistenza a taglio del tratto di trave analizzato sarà pari al valore minimo tra $V_{Rd,max}$ e $V_{Rd,s}$. Con diversi valori di $\theta$ avremo quindi diversi valori di resistenza. Ci chiediamo allora quale sia il valore di $\theta$ che massimizza la resistenza effettiva. Poiché rispetto a $\theta$ l'andamento di $V_{Rd,max}$ è decrescente, quello di $V_{Rd,s}$ è crescente, nel per massimizzare la resistenza a taglio imponiamo che $V_{Rd,max}$ sia uguale a $V_{Rd,s}$, ottenendo
+$$ \alpha_{cw} \, b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd} \frac{\cot \theta + \cot \alpha}{1 + \cot^2 \theta} =
+\frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \sin \alpha \Longrightarrow \\
+\left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \left( \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta}
+- \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha \right)  =
+$$
+Sfruttando la legge di azzeramento, dobbiamo risolvere le equazioni
+$$ \cot \theta + \cot \alpha = 0$$
+$$ \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta} - \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha  = 0  $$
+La prima equazioni non ha solzuioni nel range di $\theta$ che ci interessa. Rimane pertanto da analizzare solo la seconda espressione
+$$ \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta} - \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha  = 0  \Longrightarrow \\
+\cot^2 \theta = \alpha_{cw} \, \nu_1 \frac{s}{A_{sw}} \frac{1}{\sin \alpha} b_{w} \frac{f_{cd}}{f_{ywd}} - 1 $$
+Possiamo calcolare il valore di $\cot \theta$ con un metodo numerico (ad esempio il [[http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon07/limcon07.html|metodo di bisezione]]).
+Nel caso si impieghino staffe, $\alpha = \pi / 2$, e la formula si semplifica diventando
+$$ \alpha_{cw} \, b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd} \, \cos \theta \, \sin \theta =
+\frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \frac{\cos \theta}{ \sin \theta } \Longrightarrow \\
+\sin^2 \theta =
+\frac{ 1 }{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1} \frac{A_{sw}}{ s} \frac{f_{ywd}}{f_{cd}}$$
+In entrambi i casi saranno accettabili solo valori di $\cot \theta$ compresi tra 1 e 2,5.

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