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--- tecnica_costruzioni:cls:slu_taglio [2014/10/10 15:19]
mickele [Calcolo inclinazione biella compressa]
+++ tecnica_costruzioni:cls:slu_taglio [2021/06/13 13:09]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Cemento armato - SLU - Taglio ======
-La presenza di azioni trasversali, rispetto al caso di flessione semplice costante, determina l'inclinazione delle tensioni principali rispetto all'asse della trave.
-Il comportamento è differente se la trave è fessurata o meno, e, nel caso di fessurazione, se sono presenti armature a taglio (staffe/ ferri piegati) o meno.
-===== Elementi che non richiedono armatura a taglio =====
-L'armatura a taglio può essere omessa nel caso di:
-  * piastre
-  * travetti di solaio
-  * travi sopraporta o soprafinestra
-Nelle travi, qualora la struttura risulti non fessurata, si può omettere il calcolo dell'armatura a taglio ricorrendo alla sola armatura minima. In tal caso, per dimostrare che non c'é fessurazione, è sufficiente verificare che
-$$\sigma_1 \le f_{ctd} $$
-in cui $\sigma_1$ è la tensione principale massima.
-Raggiunta la fessurazione, in assenza di armatura a taglio, il meccanismo resistente dipende da più fattori.
-Analizzando sperimentalmente il comportamento di una trave semplicemente appoggiata priva di armatura a taglio, verifichiamo la presenza di due meccanismi resistenti:
-  * nella parte centrale della trave notiamo un comportamento a pettine: si formano una serie di mensole incastrate nel corrente compresso superiore;
-  * sulle estremità è presente un effetto arco che tende a riportare i carichi esterni sugli appoggi.
-La presenza di taglio implica un momento variabile. Nel caso di travi rettilinee abbiamo
-$$V = \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} x}$$
-Nel caso di sforzo normale nullo, indicando con $T$ la risultante di trazione/compressione, e con $z$ il braccio di leva interno alla sezione,
-$$ M = T \, z$$
-e quindi
-$$V = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} T \, z = z \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x} + T \, \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d} x}$$
-Il termine $z \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x}$ individua il comportamento "a trave", il termine $T \, \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d} x}$ quello "ad arco". Il comportamento a rottura può essere condizionato dall'uno o dall'altro in funzione del rapporto tra la luce della trave e l'altezza della sezione (maggiore è tale rapporto, maggiormente il meccanismo di rottura si avvicina a quello "a trave").
-Dei due meccanismi di rottura quello che ci interessa maggiormente è quello "a trave" in conseguenza dei rapporti $l/d$ che di solito presentano solai e travi. Sotto tale ipotesi la resistenza a scorrimento viene fornita: nel corrente superiore compresso dalle tensioni tangenziali che il calcestruzzo è in grado di assorbire fintantoché le tensioni principali sono inferiori alla resistenza a trazione;  nella porzione fessurata, dalla resistenza opposta dalle mensole incastrate nel corrente superiore compresso che si creano a seguito dell'insorgere delle fessure.
-A tali due fenomeni si aggiungono altri due contributi:
-  * l'effetto ingranamento degli aggregati nella fessura (aggregate interlock); le mensole che si creano nella porzione fessurata della trave sono collegate tra loro dalle tensioni tangenziali determinate dalla presenza degli inerti; sperimentalmente notiamo che tale aspetto tende a ridursi con l'aumentare dell'altezza della sezione, tendendo ad annullarsi per altezze della sezione maggiori di 60 cm;
-  * l'effetto spinotto delle armature longitudinali che attraversano la fessura (dowel action); le mensole sono collegate dal corrente teso che trasmette loro una coppia in virtù della sua rigidezza flessionale.
-Tutti questi contributi sono considerati nella formula riportata dall'Eurocodice 2 (UNI EN 1992-1-1)
-$$V_{Rd,c} = \left[ C_{Rd} \, k \, \left( 100 \, \rho_l \, f_{ck} \right)^{1/3} + k_1 \, \sigma_{cp} \right] b_w \, d$$
-in cui
-  * $f_{ck}$ è la resistenza caratteristica a compressione del cls espressa in MPa;
-  * $k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \le 2,0$, con $d$ espresso in $mm$, è il contributo dell'effetto ingranamento
-  * $\rho_l = \frac{A_{sl}}{b_w \, d} \le 0,02$, in cui $A_{sl}$ è l'area dell'armatura longitudinale nella porzione fessurata della sezione, valutata tenendo conto della lunghezza di ancoraggio e della presenza di fessure inclinate di 45°; tale termine ci permette di valutare l'effetto spinotto;
-  * $\sigma_{cp} = \frac{N_{Ed}}{A_c} < 0,2 \, f_{cd}$, espresso in MPa; questo termine è legato all'analisi dello stato di tensione piano del corrente compresso: aumentando le tensioni di compressione, diminuisce la tensione principale di trazione;
-  * $b_w$ è la larghezza minima dell'area tesa; la resistenza a taglio dipende quindi dalla larghezza minima della sezione, risultando poco significativa la presenza di variazioni della sezione trasversali al taglio
-  * $d$ è l'altezza utile della sezione in mm
-  * $C_{Rd} = \frac{0,18}{\gamma_c}$
-  * $k_1$ è un coefficiente il cui valore raccomandato è 0,15
-  * $V_{Rd,c}$ è espresso in N
-Il termine $V_{Rd,c}$ deve essere comunque compreso tra un valore minimo
-$$V_{Rd} \ge \left( \nu_{min} + k_1 \, \sigma_{cp} \right) b_w \, d$$
-in cui:
-  * $\nu_{min} = 0,035 \, k^{3/2} \, f_{ck}^{1/2}$
-ed un valore massimo espresso da
-$$V_{Rd} \le 0,5 \, b_w \, d \, \nu \, f_{cd}$$
-in cui:
-  * $\nu = 0,6 \left( 1 - \frac{f_{ck}}{250} \right)$ - resistenza caratteristica del cls $f_{ck}$ espressa in MPa - $\nu$ tiene conto della riduzione della resistenza a compressione nel cls fessurato per la presenza di taglio
-===== Elementi che richiedono armatura a taglio =====
-==== Calcolo degli sforzi nel traliccio di Morsch ====
-Il modello di calcolo impiegato per valutare la capacità resistente presuppone la formazione di un traliccio reticolare isostatico costituito da:
-  * corrente compresso: calcestruzzo compresso per effetto del momento agente e/o dello sforzo normale agente
-  * corrente teso: armatura longitudinale tesa per effetto del momento agente e/o dello sforzo normale agente
-  * aste di parete compresse: calcestruzzo compresso d'anima (aste ideali inclinate di $\theta$ rispetto all'asse della trave)
-  * aste di parete tese: armatura trasversale, inclinata di $\alpha$ rispetto all'asse della trave
-Nella trattazione che segue assumeremo:
-  * $z$ - braccio di leva interno alla sezione (di solito assunto pari a $0,9 d$)
-  * $A_{sl}$ - area delle armatura longitudinale inferiore
-  * $A_{sw}$ - area armatura trasversale
-  * $s$ - passo dell'armatura trasversale (numero di armature trasversali per unità di lunghezza)
-  * $\alpha$ - inclinazione delle armature trasversali rispetto all'asse della trave
-  * $\theta$ - inclinazione delle bielle compresse rispetto all'asse della trave ($1 \le \cot \theta \le 2,5$)
-Tagliamo il traliccio di Morsch parallelamente ad una biella compressa. Taglieremo in questo $n_{sw}$ armature trasversali, con $n_{sw}$ pari a
-$$n_{sw} = \frac{z \left(\cot \theta + \cot \alpha \right) }{s}$$
-Detta $\sigma_{sw}$ la tensione in una delle armature, il relativo sforzo $Z_{sw}$ è dato da
-$$Z_{sw} = \sigma_{sw} \, A_{sw}$$
-La componente verticale della risultante degli sforzi delle armature sarà uguale al taglio $V$
-$$V = Z_{sw} \, n_{sw} \, \sin \alpha = \sigma_{sw} \, A_{sw} \, \frac{z \, \left(\cot \theta + \cot \alpha \right) }{s} \, \sin \alpha$$
-da cui
-$$\sigma_{sw} = \frac{s}{\left(\cot \theta + \cot \alpha \right) \sin \alpha \, A_{sw} \, z} V$$
-Tagliamo ora il traliccio parallelamente alle armature trasversali. Il numero di bielle intercettato è pari a
-$$ n_{c} = \frac{z \, \left(\cot \theta + \cot \alpha \right) }{s} $$
-Lo sforzo in ciascuna biella è dato da
-$$ C_{cw} = \sigma_{cw} \, b_{w} \, s \, \sin \theta $$
-Imponendo l'equilibrio a traslazione verticale del tratto analizzato otteniamo
-$$V = C_{cw} \, n_{c} \, \sin \theta = \sigma_{cw} \, b_{w} \, z \, \left(\cot \theta + \cot \alpha \right) \, \sin^2 \theta $$
-Ricordando che
-$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \Longrightarrow \cot^2 \theta + 1 = \frac{1}{\sin^2 \theta} \Longrightarrow \sin^2 \theta = \frac{1}{ 1 + \cot^2 \theta}$$
-scriviamo
-$$V = \sigma_{cw} \, b_{w} \, z \, \frac{\cot \theta + \cot \alpha }{1 + \cot^2 \theta}$$
-da cui infine
-$$ \sigma_{cw} = \frac{1 + \cot^2 \theta}{\left( \cot \theta + \cot \alpha \right) b_{w} \, z} V$$
-Tagliamo ora la trave perpendicolare al proprio asse.
-Abbiamo già calcolato il numero di armature trasversali intercettate $n_{sw}$. Analogamente il numero di bielle compresse intercettato è pari a all'espressione di $n_{c}$ già calcolata.
-Indicando con $C_l$ $T_l$ la risultante degli sforzi, rispettivamente, nel corrente compresso e in quello teso, dall'equilibrio a traslazione orizzontale otteniamo
-$$N = Z_l + - C_l  + Z_{sw} \, n_{sw} \, \cos \alpha - C_{cw} \, n_{cw} \, \cos \theta$$
-in cui $N$ è lo sforzo normale agente nella sezione.
-Sostituendo le relazioni viste sopra tra $Z_{sw} \, n_{sw}$ e $V$ e tra $C_{cw} \, n_{cw}$ e $V$, possiamo scrivere
-$$N = Z_l - C_l  - V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right)$$
-Essendo $z$ il braccio di leva interno alla sezione, introduciamo la grandezza $\psi$ tale che $\psi \, z$ risulti pari alla distanza tra il corrente teso ed i punto di applicazione dello sforzo normale (di solito è il baricentro della sezione in calcestruzzo).
-Imponendo l'equilibrio a rotazione rispetto al punto di applicazione dello sforzo normale
-$$Z_l \, \psi \, z + C_l (1 - \psi) z = M$$
-che con le relazioni viste su ci dà
-$$C_l = \frac{M}{z} - \psi \, \left[ N + V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$
-$$Z_l = \frac{M}{z} + (1 - \psi) \left[ N + V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$
-Per leggere meglio tali formule supponiamo di avere sforzo normale nullo ($N = 0$) e che $\psi = 0.5$. Sotto tali ipotesi abbiamo
-$$C_l = \frac{M}{z} - \frac{V}{2} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) $$
-$$Z_l = \frac{M}{z} + \frac{V}{2} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) $$
-Nel caso non avessimo taglio avremmo invece
-$$C_l = Z_l = \frac{M}{z}$$
-La presenza del taglio $V$ modifica lo stato di sforzo nei correnti rispetto a quanto si ha nel caso di pressoflessione semplice senza taglio: la sollecitazione nel corrente compresso diminuisce, quella nel corrente teso aumenta.
-==== Verifiche da normativa ====
-Per quanto riguarda l'inclinazione delle bielle compresse $\theta$, la normativa impone
-$$1 \le \cot \theta \le 2,5 $$
-Lo sforzo massimo nelle bielle viene assunto pari a
-$$\sigma_{c,max} = \alpha_{cw} \, \nu_1 \, f_{cd}$$
-Applicando le formule del paragrafo precedente, con i vincoli normativi appena visti, arriviamo a valutare il taglio massimo lato calcestruzzo pari a
-$$V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}} (\cot \theta + \cot \alpha) }{1 + \cot^2 \theta}$$
-in cui:
-  * $\nu_1 = 0,60 \left( 1 - f_{ck} / 250 \right) $ (con $f_{ck}$ in MPa); se $f_{yd} \le 0.80 \cdot f_{yk}$, possiamo assumere $\nu_1=0,6$ con $f_{ck} \le 60 MPa$, $\nu_1=0,9 - f_{ck} / 200 > 0,50 $ con $f_{ck} \ge 60 MPa$
-  * $\alpha_{cw} = 1.0$ per strutture non precompresse, altrimenti
-    * $\alpha_{cw} = 1 + \sigma_{cp} / f_{cd}$ per $0 < \sigma_{cp} \le 0,25 f_{cd}$
-    * $\alpha_{cw} = 1,25$ per $0,25 f_{cd} < \sigma_{cp} \le 0,5 f_{cd}$
-    * $\alpha_{cw} = 2,5 \left( 1 - \sigma_{cp} / f_{cd} \right)$ per $0,5 f_{cd} < \sigma_{cp} \le f_{cd}$
-Lato acciaio abbiamo invece
-$$V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, (\cot \theta + \cot \alpha) \sin \alpha$$
-Per quanto riguarda l'incremento dello sforzo nell'armatura longitudinale, abbiamo visto che tale sforzo dipende in generale dalla distanza tra il punto rispetto al quale è riferito lo sforzo normale e l'armatura tesa. La normativa ci permette di semplificare tale verifica assumendo tale distanza pari a $z/2$, ottenendo
-$$\Delta F_{td} = \frac{V_{Ed}}{2} \, (\cot \theta + \cot \alpha)$$
-L'Eurocodice 2 (UNI EN 1992-1-1) ci impone inoltre di valutare la massima area efficace di armatura a taglio, ottenuta, per $\cot \theta = 1$, dall'espressione
-$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{b_{w}} \le \frac{\alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd}}{2 \, \sin \alpha}  $$
-Nel caso di staffe ($\alpha = \pi / 2$) le formule appena viste si semplificano nella forma:
-  * il taglio massimo per le bielle compresse in cls è dato da
-$$V_{Rd,c} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}}  }{\cot \theta + \tan \theta}$$
-  * il taglio massimo per l'armatura trasversale è
-$$V_{Rd,sw} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, \cot \theta$$
-  * l'incremento di sforzo nell'armatura longitudinale è dato da
-$$\Delta F_{td} = \frac{V_{Ed}}{2} \, \cot \theta$$
-  * la massima area efficace a taglio, per $\cot \theta = 1$, diventa
-$$\frac{A_{sw,max} \, f_{ywd}}{b_{w}} \le \frac{1}{2} \alpha_{cw} \nu_{1} f_{cd} $$
-==== Calcolo inclinazione biella compressa ====
-Fissato un certo valore di $\theta$, la resistenza a taglio del tratto di trave analizzato sarà pari al valore minimo tra $V_{Rd,max}$ e $V_{Rd,s}$. Con diversi valori di $\theta$ avremo quindi diversi valori di resistenza. Ci chiediamo allora quale sia il valore di $\theta$ che massimizza la resistenza effettiva. Poiché rispetto a $\theta$ l'andamento di $V_{Rd,max}$ è decrescente, quello di $V_{Rd,s}$ è crescente, nel per massimizzare la resistenza a taglio imponiamo che $V_{Rd,max}$ sia uguale a $V_{Rd,s}$, ottenendo
-$$ \alpha_{cw} \, b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd} \frac{\cot \theta + \cot \alpha}{1 + \cot^2 \theta} =
-\frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \sin \alpha \Longrightarrow \\
-\left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \left( \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta}
-- \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha \right)  =
-$$
-Sfruttando la legge di azzeramento, dobbiamo risolvere le equazioni
-$$ \cot \theta + \cot \alpha = 0$$
-$$ \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta} - \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha  = 0  $$
-La prima equazioni non ha solzuioni nel range di $\theta$ che ci interessa. Rimane pertanto da analizzare solo la seconda espressione
-$$ \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta} - \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha  = 0  \Longrightarrow \\
-\cot^2 \theta = \alpha_{cw} \, \nu_1 \frac{s}{A_{sw}} \frac{1}{\sin \alpha} b_{w} \frac{f_{cd}}{f_{ywd}} - 1 $$
-Possiamo calcolare il valore di $\cot \theta$ con un metodo numerico (ad esempio il [[http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon07/limcon07.html|metodo di bisezione]]).
-Nel caso si impieghino staffe, $\alpha = \pi / 2$, e la formula si semplifica diventando
-$$ \alpha_{cw} \, b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd} \, \cos \theta \, \sin \theta =
-\frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \frac{\cos \theta}{ \sin \theta } \Longrightarrow \\
-\sin^2 \theta =
-\frac{ 1 }{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1} \frac{A_{sw}}{ s} \frac{f_{ywd}}{f_{cd}}$$
-In entrambi i casi saranno accettabili solo valori di $\cot \theta$ compresi tra 1 e 2,5.

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