tecnica_costruzioni:cls:slu_taglio
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tecnica_costruzioni:cls:slu_taglio [2012/12/10 16:18] mickele |
tecnica_costruzioni:cls:slu_taglio [2016/03/09 17:16] mickele [Verifiche da normativa] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Cemento armato - SLU - Taglio ====== | ====== Cemento armato - SLU - Taglio ====== | ||
- | L' | + | La presenza di azioni trasversali, rispetto al caso di flessione semplice costante, determina l' |
- | Il comportamento è differente se la trave è fessurata o meno, se sono presenti armature a taglio (staffe/ ferri piegati) o meno. | + | Il comportamento è differente se la trave è fessurata o meno, e, nel caso di fessurazione, se sono presenti armature a taglio (staffe/ ferri piegati) o meno. |
===== Elementi che non richiedono armatura a taglio ===== | ===== Elementi che non richiedono armatura a taglio ===== | ||
Linea 36: | Linea 36: | ||
$$V = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} T \, z = z \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x} + T \, \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d} x}$$ | $$V = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} T \, z = z \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x} + T \, \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d} x}$$ | ||
- | Il termine $z \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x}$ individua il comportamento "a trave", | + | Il termine $z \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x}$ individua il comportamento "a trave", |
- | Dei due meccanismi di rottura quello che ci interessa maggiormente è quello "a trave" in conseguenza dei rapporti $l/d$ che di solito presentano solai e travi. Sotto tale ipotesi la resistenza a scorrimento viene fornita: nel corrente superiore compresso dalle tensioni tangenziali che il calcestruzzo è in grado di assorbire | + | Dei due meccanismi di rottura quello che ci interessa maggiormente è quello "a trave" in conseguenza dei rapporti $l/d$ che di solito presentano solai e travi. Sotto tale ipotesi la resistenza a scorrimento viene fornita: nel corrente superiore compresso dalle tensioni tangenziali che il calcestruzzo è in grado di assorbire |
A tali due fenomeni si aggiungono altri due contributi: | A tali due fenomeni si aggiungono altri due contributi: | ||
- | * l' | + | * l' |
- | * effetto spinotto delle armature longitudinali che attraversano la fessura (dowel action); le mensole sono collegate dal corrente teso che esprime sulle stesse un' | + | * l'effetto spinotto delle armature longitudinali che attraversano la fessura (dowel action); le mensole sono collegate dal corrente teso che trasmette loro una coppia |
- | Tutti questi contributi sono considerati nella formula riportata dall' | + | Tutti questi contributi sono considerati nella formula riportata dall' |
$$V_{Rd,c} = \left[ C_{Rd} \, k \, \left( 100 \, \rho_l \, f_{ck} \right)^{1/ | $$V_{Rd,c} = \left[ C_{Rd} \, k \, \left( 100 \, \rho_l \, f_{ck} \right)^{1/ | ||
Linea 50: | Linea 50: | ||
in cui | in cui | ||
- | * $f_{ck}$ è la resistenza caratteristica del cls espressa in MPa; in particolare il termine $f_{ck}^{1/ | + | * $f_{ck}$ è la resistenza caratteristica |
* $k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \le 2,0$, con $d$ espresso in $mm$, è il contributo dell' | * $k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \le 2,0$, con $d$ espresso in $mm$, è il contributo dell' | ||
- | * $\rho_l = \frac{A_{sl}}{b_w \, d} \le 0,02$, in cui $A_{sl}$ è l'area dell' | + | * $\rho_l = \frac{A_{sl}}{b_w \, d} \le 0,02$, in cui $A_{sl}$ è l'area dell' |
- | * $\sigma_{cp} = \frac{N_{Ed}}{A_c} < 0,2 \, f_{cd}$; questo termine è legato all' | + | * $\sigma_{cp} = \frac{N_{Ed}}{A_c} < 0,2 \, f_{cd}$, espresso in MPa; questo termine è legato all' |
- | * $b_w$ è la larghezza minima dell' | + | * $b_w$ è la larghezza minima dell' |
* $d$ è l' | * $d$ è l' | ||
* $C_{Rd} = \frac{0, | * $C_{Rd} = \frac{0, | ||
* $k_1$ è un coefficiente il cui valore raccomandato è 0,15 | * $k_1$ è un coefficiente il cui valore raccomandato è 0,15 | ||
+ | * $V_{Rd,c}$ è espresso in N | ||
Il termine $V_{Rd,c}$ deve essere comunque compreso tra un valore minimo | Il termine $V_{Rd,c}$ deve essere comunque compreso tra un valore minimo | ||
Linea 71: | Linea 72: | ||
in cui: | in cui: | ||
- | * $\nu = 0,6 \left( 1 - \frac{f_{ck}}{250} \right)$ | + | * $\nu = 0,6 \left( 1 - \frac{f_{ck}}{250} \right)$ |
+ | |||
===== Elementi che richiedono armatura a taglio ===== | ===== Elementi che richiedono armatura a taglio ===== | ||
==== Calcolo degli sforzi nel traliccio di Morsch ==== | ==== Calcolo degli sforzi nel traliccio di Morsch ==== | ||
- | |||
- | * $z$ - braccio di leva interno alla sezione (di solito assunto pari a $0,9 d$) | ||
- | * $A_{sl}$ - area delle armatura longitudinale | ||
- | * $A_{sw}$ - area armatura trasversale | ||
- | * $s$ - passo dell' | ||
- | * $\alpha$ - inclinazione delle armature trasversali rispetto all' | ||
- | * $\theta$ - inclinazione delle bielle compresse rispetto all' | ||
Il modello di calcolo impiegato per valutare la capacità resistente presuppone la formazione di un traliccio reticolare isostatico costituito da: | Il modello di calcolo impiegato per valutare la capacità resistente presuppone la formazione di un traliccio reticolare isostatico costituito da: | ||
- | * corrente compresso: calcestruzzo compresso per effetto | + | * corrente compresso: calcestruzzo compresso per effetto |
- | * corrente teso: armatura longitudinale | + | * corrente teso: armatura longitudinale |
* aste di parete compresse: calcestruzzo compresso d' | * aste di parete compresse: calcestruzzo compresso d' | ||
- | * aste di parete tese: armatura trasversale | + | * aste di parete tese: armatura trasversale, inclinata di $\alpha$ rispetto all' |
- | Tagliamo il traliccio di Morsch parallelamente ad una biella compressa. | + | Nella trattazione che segue assumeremo: |
- | Il numero | + | * $z$ - braccio |
+ | * $A_{sl}$ - area delle armatura longitudinale inferiore | ||
+ | * $A_{sw}$ - area armatura trasversale | ||
+ | * $s$ - passo dell' | ||
+ | * $\alpha$ - inclinazione delle armature trasversali rispetto all' | ||
+ | * $\theta$ - inclinazione delle bielle compresse rispetto all' | ||
- | $$n_{sw} | + | Tagliamo il traliccio di Morsch parallelamente ad una biella compressa. Taglieremo in questo |
- | Lo sforzo in ciascuna armatura è dato da | + | $$n_{sw} = \frac{z \left(\cot \theta + \cot \alpha \right) }{s}$$ |
- | $Z_{sw} = \sigma_{sw} | + | Detta $\sigma_{sw}$ la tensione in una delle armature, il relativo sforzo $Z_{sw}$ è dato da |
- | Imponiamo l' | + | $$Z_{sw} = \sigma_{sw} \, A_{sw}$$ |
+ | |||
+ | La componente | ||
$$V = Z_{sw} \, n_{sw} \, \sin \alpha = \sigma_{sw} \, A_{sw} \, \frac{z \, \left(\cot \theta + \cot \alpha \right) }{s} \, \sin \alpha$$ | $$V = Z_{sw} \, n_{sw} \, \sin \alpha = \sigma_{sw} \, A_{sw} \, \frac{z \, \left(\cot \theta + \cot \alpha \right) }{s} \, \sin \alpha$$ | ||
Linea 134: | Linea 137: | ||
Tagliamo ora la trave perpendicolare al proprio asse. | Tagliamo ora la trave perpendicolare al proprio asse. | ||
- | Il numero di armature trasversali intercettate | + | Abbiamo già calcolato il numero di armature trasversali intercettate |
- | Indicando con $C_l$ $T_l$ la risultante degli sforzi rispettivamente nel corrente compresso e nell' | + | Indicando con $C_l$ $T_l$ la risultante degli sforzi, rispettivamente, nel corrente compresso e in quello teso, dall' |
$$N = Z_l + - C_l + Z_{sw} \, n_{sw} \, \cos \alpha - C_{cw} \, n_{cw} \, \cos \theta$$ | $$N = Z_l + - C_l + Z_{sw} \, n_{sw} \, \cos \alpha - C_{cw} \, n_{cw} \, \cos \theta$$ | ||
Linea 146: | Linea 149: | ||
$$N = Z_l - C_l - V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right)$$ | $$N = Z_l - C_l - V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right)$$ | ||
- | Essendo $z$ il braccio di leva interno alla sezione, introduciamo la grandezza $\gamma$ tale che $\gamma \, z$ risulti pari alla distanza tra il corrente teso ed i punto di applicazione dello sforzo normale (di solito è il baricentro della sezione in calcestruzzo). | + | Essendo $z$ il braccio di leva interno alla sezione, introduciamo la grandezza $\psi$ tale che $\psi \, z$ risulti pari alla distanza tra il corrente teso ed i punto di applicazione dello sforzo normale (di solito è il baricentro della sezione in calcestruzzo). |
Imponendo l' | Imponendo l' | ||
- | $$Z_l \, \gamma \, z + C_l (1 - \gamma) z = M$$ | + | $$Z_l \, \psi \, z + C_l (1 - \psi) z = M$$ |
che con le relazioni viste su ci dà | che con le relazioni viste su ci dà | ||
- | $$C_l = \frac{M}{z} - \gamma \, \left[ N + V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$ | + | $$C_l = \frac{M}{z} - \psi \, \left[ N + V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$ |
- | $$Z_l = \frac{M}{z} + (1 - \gamma) \left[ N + V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$ | + | $$Z_l = \frac{M}{z} + (1 - \psi) \left[ N + V \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) \right] $$ |
- | Per leggere meglio tali formule supponiamo di avere sforzo normale nullo ($N = 0$) e che il punto rispetto al quale calcoliamo il momento disti $\frac{z}{2}$ dall' | + | Per leggere meglio tali formule supponiamo di avere sforzo normale nullo ($N = 0$) e che $\psi = 0.5$. Sotto tali ipotesi abbiamo |
$$C_l = \frac{M}{z} - \frac{V}{2} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) $$ | $$C_l = \frac{M}{z} - \frac{V}{2} \left( \cot \theta - \cot \alpha \right) $$ | ||
Linea 166: | Linea 169: | ||
$$C_l = Z_l = \frac{M}{z}$$ | $$C_l = Z_l = \frac{M}{z}$$ | ||
- | La presenza del taglio $V$ modifica lo stato di sforzo nei correnti rispetto a quanto | + | La presenza del taglio $V$ modifica lo stato di sforzo nei correnti rispetto a quanto |
==== Verifiche da normativa ==== | ==== Verifiche da normativa ==== | ||
Linea 180: | Linea 183: | ||
Applicando le formule del paragrafo precedente, con i vincoli normativi appena visti, arriviamo a valutare il taglio massimo lato calcestruzzo pari a | Applicando le formule del paragrafo precedente, con i vincoli normativi appena visti, arriviamo a valutare il taglio massimo lato calcestruzzo pari a | ||
- | $$V_{Rd,c} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}} (\cot \theta + \cot \alpha) }{1 + \cot^2 \theta}$$ | + | $$V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}} (\cot \theta + \cot \alpha) }{1 + \cot^2 \theta}$$ |
+ | |||
+ | in cui: | ||
+ | * $\nu_1 = 0,60 \left( 1 - f_{ck} / 250 \right) $ (con $f_{ck}$ in MPa); se $f_{yd} \le 0.80 \cdot f_{yk}$, possiamo assumere $\nu_1=0,6$ con $f_{ck} \le 60 MPa$, $\nu_1=0,9 - f_{ck} / 200 > 0,50 $ con $f_{ck} \ge 60 MPa$ | ||
+ | * $\alpha_{cw} = 1.0$ per strutture non precompresse, | ||
+ | * $\alpha_{cw} = 1 + \sigma_{cp} / f_{cd}$ per $0 < \sigma_{cp} \le 0,25 f_{cd}$ | ||
+ | * $\alpha_{cw} = 1,25$ per $0,25 f_{cd} < \sigma_{cp} \le 0,5 f_{cd}$ | ||
+ | * $\alpha_{cw} = 2,5 \left( 1 - \sigma_{cp} / f_{cd} \right)$ per $0,5 f_{cd} < \sigma_{cp} \le f_{cd}$ | ||
Lato acciaio abbiamo invece | Lato acciaio abbiamo invece | ||
- | $$V_{Rd,sw} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, (\cot \theta + \cot \alpha) \sin \alpha$$ | + | $$V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, (\cot \theta + \cot \alpha) \sin \alpha$$ |
- | Per quanto riguarda l' | + | Per quanto riguarda l' |
$$\Delta F_{td} = \frac{V_{Ed}}{2} \, (\cot \theta + \cot \alpha)$$ | $$\Delta F_{td} = \frac{V_{Ed}}{2} \, (\cot \theta + \cot \alpha)$$ | ||
- | L'eurocodice | + | L'Eurocodice |
$$\frac{A_{sw, | $$\frac{A_{sw, | ||
Linea 197: | Linea 208: | ||
* il taglio massimo per le bielle compresse in cls è dato da | * il taglio massimo per le bielle compresse in cls è dato da | ||
- | $$V_{Rd,c} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}} | + | $$V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} \, {b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd}} |
* il taglio massimo per l' | * il taglio massimo per l' | ||
- | $$V_{Rd,sw} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, \cot \theta$$ | + | $$V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, \cot \theta$$ |
* l' | * l' | ||
Linea 211: | Linea 222: | ||
$$\frac{A_{sw, | $$\frac{A_{sw, | ||
+ | ==== Calcolo inclinazione biella compressa ==== | ||
+ | |||
+ | Fissato un certo valore di $\theta$, la resistenza a taglio del tratto di trave analizzato sarà pari al valore minimo tra $V_{Rd, | ||
+ | |||
+ | $$ \alpha_{cw} \, b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd} \frac{\cot \theta + \cot \alpha}{1 + \cot^2 \theta} = | ||
+ | \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \, \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \sin \alpha \Longrightarrow \\ | ||
+ | \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \left( \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta} | ||
+ | - \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha \right) | ||
+ | 0 $$ | ||
+ | |||
+ | Sfruttando la legge di azzeramento, | ||
+ | |||
+ | $$ \cot \theta + \cot \alpha = 0$$ | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta} - \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha | ||
+ | |||
+ | La prima equazioni non ha solzuioni nel range di $\theta$ che ci interessa. Rimane pertanto da analizzare solo la seconda espressione | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1 \, f_{cd}}{1 + \cot^2 \theta} - \frac{A_{sw}}{s} \, f_{ywd} \, \sin \alpha | ||
+ | \cot^2 \theta = \alpha_{cw} \, \nu_1 \frac{s}{A_{sw}} \frac{1}{\sin \alpha} b_{w} \frac{f_{cd}}{f_{ywd}} - 1 $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Possiamo calcolare il valore di $\cot \theta$ con un metodo numerico (ad esempio il [[http:// | ||
+ | |||
+ | Nel caso si impieghino staffe, $\alpha = \pi / 2$, e la formula si semplifica diventando | ||
+ | |||
+ | $$ \alpha_{cw} \, b_{w} \, z \, \nu_1 \, f_{cd} \, \cos \theta \, \sin \theta = | ||
+ | \frac{A_{sw}}{s} z \, f_{ywd} \frac{\cos \theta}{ \sin \theta } \Longrightarrow \\ | ||
+ | \sin^2 \theta = | ||
+ | \frac{ 1 }{\alpha_{cw} \, b_{w} \, \nu_1} \frac{A_{sw}}{ s} \frac{f_{ywd}}{f_{cd}}$$ | ||
+ | |||
+ | In entrambi i casi saranno accettabili solo valori di $\cot \theta$ compresi tra 1 e 2,5. |
tecnica_costruzioni/cls/slu_taglio.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)