Instabilità

Gli effetti del secondo ordine possono essere trascurati se il corrispondente incremento delle sollecitazioni risulta inferiore al 10%.

Nella combinazinoe di carico quasi permanente è possibile tener conto del fenomeno della viscosità mediante il coefficiente di viscosità a tempo infinito $\phi (t_0, \infty)$.

Nella combinazione fondamentale di stato limite ultimo tale valore è eccessivamente cautelativo potendo infatti supporre che per l'incremento di sollecitazione rispetto alla combinazione quasi permanente il fenomeno della viscosità non abbia modo di dar sentire il proprio effetto in maniera consistente.

Per questo motivo, nella combinazione fondamentale di SLU, si tiene conto dell'influenza della viscosità sulla deoformabilità della struttura considerando un coefficiente efficace di viscosità $\varphi_{eff} < \phi (t_0, \infty)$ ottenuto tramite la relazione

$$\varphi_{eff} = \phi (t_0, \infty) \frac{M_{0k,QP}}{M_{0Ed}}$$

in cui:

• $M_{0k,QP}$ è il momento flettente del primo ordine per la combinazione quasi permanente (SLE)
• $M_{0Ed}$ è il momento flettente del primo ordine per la combinazione di progetto allo SLU

I momenti sono calcolati nella sezione soggetta al massimo momento.

E' possibile trascurare gli effetti della viscosità sulla deformabilità della struttura se

• $\varphi (t_0, \infty) \le 2$
• $\lambda < 75$
• ${M_{0Ed}}/{N_{Ed}} > h$

Per poter trascurare gli effetti del secondo ordine la snellezza dell'elemento $\lambda$ deve rispettare le condizione

$$\lambda \le \lambda_{lim}$$

La snellezza è definita come

$$\lambda = \frac{l_0}{i}$$

in cui:

• $l_0$ è la lunghezza libera d’inflessione
• $i$ è il raggio d’inerzia della sezione di calcestruzzo non fessurato

Il termine $\lambda_{lim}$ è definito come segue

$$ \lambda_{lim} = 20 \frac{ A \cdot B \cdot C }{ \sqrt{\nu} }$$

dove:

• $\nu = \frac{N_{Ed}}{A_c \cdot f_{cd}}$ forza assiale adimensionale;
• $A = {1}/{1 + 0,2 \varphi_{eff}}$ (se $\varphi_{eff}$ non è noto $A = 0,7$)
• $\varphi_{eff}$ è il coefficiente efficace di viscosità; $\varphi_{eff} = \varphi(\infty, t_0) \, M_{0Eqp} / M_{0Ed}$
• $M_{0Eqp}$ è il momento del primo ordine nella combinazione quasi permanente
• $M_{0Ed}$ è il momento del primo ordine nella combinazione fondamentale allo stato limite ultimo
• $B = 1 + 2 \omega$ in cui $\omega = \frac{A_s \cdot f_{yd}}{A_c \cdot f_{cd}}$ (rapporto meccanico di armatura); se $\omega$ non è noto, si può adottare $B = 1,1$
• $C = 1,7 - r_m$ in cui $r_m = \frac{M_{01}}{M_{02}}$ rapporto tra i momenti; se $r_m$ non è noto, si può adottare $C = 0,7$; $M_{01}$ ed $M_{02}$ sono i momenti del primo ordine alle estremità, $|M_{02}| \ge |M_{01}|$, se provocano trazione sullo stesso lato, $r_m$ è positivo (cioè C ≤ 1,7), in caso contrario negativo (cioè C > 1,7). Nei casi seguenti, si raccomanda che $r_m$ sia assunto pari a $1,0$ (cioè C = 0,7):
  • per telai a nodi fissi soggetti solo a momenti del primo ordine o a momenti dovuti prevalentemente ad imperfezioni o a carico trasversale;
  • per telai a nodi mobili in generale.

Se $\lambda > \lambda_{lim}$ è necessario tener conto degli effetti del secondo ordine del singolo elemento. In tal caso la normativa fornisce tre approcci, i primi due semplificati, il terzo più generale ma più complesso:

• il metodo della curvatura nominale
• il metodo della rigidezza nominale
• un metodo generale che richiede l'impego del calcolatore: si effettua il calcolo della struttura tenendo conto delle non linearità meccanica e geometrica.

Il momento complessivo agente è pari a

$$M_{Ed} = M_{0,Ed} + N_{Ed} \cdot e_2 $$

L'eccentricità dovuto agli effetti del socondo ordine $e_2$ è data dall'espressione

$$e_2 = \left(\frac{1}{r}\right)_{nom} \frac{L_0^2}{c}$$

$c$ è un fattore fattore che dipende dalla distribuzione della curvatura

Per valutare la curvatura nominale, nel caso di sezione trasversale simmetrica, si può assumere

$$\left(\frac{1}{r}\right)_{nom} = k_r \, k_{\varphi} \, \frac{1}{r_0}$$

$k_r$ è un coefficiente che ci permette di tener conto del carico assiale

$$k_r = \frac{\nu_u - \nu}{ \nu_u - \nu_{bal}} $$

in cui

• $\nu$ è la forza assiale relativa $\nu = {N_{Ed}} / {(A_c \, f_{cd})}$
• $\nu_u = 1 + \omega$
• $\nu_{bal}$ la forza assiale relativa corrispondente al massimo momento resistente; si può assumere $\nu_{bal} = 0,4$

$k_\varphi$ ci permette di tener conto dell'effetto della viscosità essendo pari a

$$k_\varphi = 1 + \beta \, \varphi_{eff} = 1 + \left( 0,35 + \frac{f_{ck}}{200} + \frac{\lambda}{150} \right) \varphi_{eff} \ge 1 $$

Il metodo della rigidezza nominale tiene conto degli effetti del secondo ordine considerando convenzionalmente un comportamento meccanico lineare con una rigidezza nominale a flessione che tiene conto della fessurazione, della non linearità dei materiali, della viscosità, mediante la relazione

$$(E \, J)_{nom} = K_c \, E_{cd} \, J_c + K_s \, E_s \, J_s$$

in cui:

• $E_{cd}$ è il valore di progetto del modulo del calcestruzzo $E_{cd} = E_c / 1,2$
• $J_c$ è il momento d’inerzia della sezione di calcestruzzo
• $E_s$ è il modulo dell’acciaio
• $J_s$ è il momento d’inerzia delle armature rispetto al baricentro della sezione di calcestruzzo
• $K_c$ è un coefficiente riduttivo relativo a fessurazione e viscosità; $K_c = \frac{k_1 \, k_2}{1 + \phi_{ef}}$
• $k_1 = \sqrt{\frac{f_{ck}}{20}}$
• $k_2 = \nu \cdot \frac{\lambda}{170} \le 0,20$ oppure $k_2 = 0,30 \, \nu \le 0,20$ se $\lambda$ non è definito
• $K_s$ è un coefficiente che permette di tener conto del contributo delle armature; per $\rho > 2 ‰$ $K_s = 1$

Con questa ipotesi il momento agente complessivo, somma del momento del primo ordine più quello del secondo ordine, può essere valutato dall'analisi elastico lineare del secondo ordine mediante l'espressione

$$M_{Ed} = M_{0,Ed} \left( 1 + \frac{\beta}{N_B / N_{Ed} - 1}\right)$$

in cui

• $N_{Ed}$ è il carico assiale derivante dall'analisi strutturale
• $M_{0,Ed}$ è il momento derivante dall'analisi strutturale del primo ordine
• $N_B$ è il carico critico euleriano calcolato con la rigidezza nominale; $N_B = \pi^2 \frac{(E \, J)_{nom}}{L_0^2}$
• $\beta = {\pi^2}/{c_0}$
• $c_0$ dipende dalla distribuzione del momento del primo ordine

In sede di verifica globale dell'instabilità, è possibile trascurare gli effetti del secondo ordine di edifici

$$F_{V,Ed} \le k_1 \frac{n_s}{n_s + 1,6} \frac{\sum E_{cd} \, I_c}{L^2}$$

in cui

• $F_{V,Ed}$ è il carico verticale totale
• $n_s$ è il numero dei piani
• $L$ è l'altezza totale dell'edificio al di sopra del vincolo flessionale
• $E_{cd}$ è il valore di progetto del modulo di elasticità del calcestruzzo
• $I_c$ è il momento di inerzia dell'area non fessurata degli elementi di controvento

Affinché la suddetta formula sia applicabile è richiesta una certa regolarità dell'edificio oggetto di verifica:

• non dobbiamo essere in presenza di rotazioni torsionali siginifcative dovuti ad una distribuzone irregolare dei controventi; la struttura deve essere quindi relativamente simmetrica
• le deformazioni dovute al taglio devono essere trascurabili rispetto a quelle flessionali
• i contrventi sono fissati in maniera sufficientemente rigida alla base
• la rigidezza dei controvento è abbastanza costante
• i carichi verticali aumentano in maniera graduale tra un piano ed il sottostante

Qualora sia necessario tener conto degli effetti del secondo ordine, la normativa prevede l'impiego di metodi numerici che siano in grado di tener conto sia della non linearità meccanica che geometrica.

In alternativa, per telai regolari in cui:

• travi e pilastri hanno rigidezze non molto diverse
• la snellezza di ogni pilastro è minore di 50 oppure $20/ \sqrt{\nu}$

è possibile tener conto degli effetti globali del secondo ordine servendosi di metodi semplificati (ad esempio il metodo P-$\Delta$)

Teniamo conto degli effetti del secondo ordine introducendo un forza orizzontale di piano fittizia che determini al piede del pilastro un momento pari a quello determinato dall'eccentricità del carico a seguito della deformazione della struttura.

Supponiamo di avere un edificio di $n$ piani, all'ultimo piano avremo

$$H_n^{(0)} \cdot l_n = \sum \limits_i P_{n,i} \left( \Delta_n^{(0)} - \Delta_{n-1}^{(0)} \right)$$

in cui:

• $\Delta_j^{(0)}$ è lo spostamento relativo del piano $j$ rispetto al piano $j-1$ derviante dall'analisi del primo ordine
• $l_j$ è l'altezza del piano $j$

Dalla precedente relazione otteniamo

$$H_n^{(0)} = \sum \limits_i P_{n,i} \left( \Delta_n^{(0)} - \Delta_{n-1}^{(0)} \right) / l_n$$

Indicando con $\delta_{n}^{(0)}$ lo spostamento relativo del piano $n$ rispetto al piano $n-1$ e con $V_{n}$ la risultante dei carichi verticali agenti sui pilastri del piano $n-1$ otteniamo otteniamo

$$H_n^{(0)} = \frac{V_n \cdot \delta_{n}^{(0)}}{l_n}$$

Al piano inferiore

$$H_{n}^{(0)} \cdot \left( l_n + l_{n-1} \right) + H_{n-1}^{(0)} \cdot l_{n-1} = \sum \limits_i P_{n,i} \left( \Delta_n - \Delta_{n-2} \right) + \sum \limits_i P_{n-1,i} \left( \Delta_{n-1}^{(0)} - \Delta_{n-2}^{(0)} \right)$$

che può essere scritta nella forma

$$H_{n}^{(0)} \cdot l_n + H_{n}^{(0)} \cdot l_{n-1} + H_{n-1}^{(0)} \cdot l_{n-1} = \sum \limits_i P_{n,i} \left( \Delta_n - \Delta_{n-1}^{(0)} \right) + \sum \limits_i P_{n,i} \left( \Delta_{n-1}^{(0)} - \Delta_{n-2}^{(0)} \right) + \sum \limits_i P_{n-1,i} \left( \Delta_{n-1}^{(0)} - \Delta_{n-2}^{(0)} \right)$$

semplificando

$$H_{n}^{(0)} \cdot l_{n-1} + H_{n-1}^{(0)} \cdot l_{n-1} = \sum \limits_i P_{n,i} \left( \Delta_{n-1}^{(0)} - \Delta_{n-2}^{(0)} \right) + \sum \limits_i P_{n-1,i} \left( \Delta_{n-1}^{(0)} - \Delta_{n-2}^{(0)} \right)$$

da cui

$$H_{n-1}^{(0)} = \sum \limits_i \left( P_{n,i} + P_{n-1,i} \right) \cdot \frac{ \delta_{n-1}^{(0)} }{l_{n-1}} - H_{n}^{(0)} $$

Indicando con $V_{n-1}$ la risultante dei carichi verticali agenti sui pilastri del piano $n-2$ otteniamo

$$H_{n-1}^{(0)} = \frac{ V_{n-1} \cdot \delta_{n-1}^{(0)} }{l_{n-1}} - H_{n}^{(0)} $$

In generale osserviamo che se al piano $m$ deve valere la relazione

$$\sum \limits_{i=n}^{m} \left( H_{i}^{(0)} \cdot \sum \limits_{j=i}^{m} l_j \right) = \sum \limits_{i=n}^{m} \left( \sum \limits_j P_{i,j} \right) \left( \Delta_i^{(0)} - \Delta_{m}^{(0)} \right) $$

al piano superiore varrà la relazione

$$\sum \limits_{i=n}^{m+1} \left( H_{i}^{(0)} \cdot \sum \limits_{j=i}^{m+1} l_j \right) = \sum \limits_{i=n}^{m+1} \left( \sum \limits_j P_{i,j} \right) \left( \Delta_i^{(0)} - \Delta_{m+1}^{(0)} \right) $$

Riscriviamo la prima relazione nella forma

$$\sum \limits_{i=n}^{m+1} \left( H_{i}^{(0)} \cdot \sum \limits_{j=i}^{m+1} l_j \right) + \left( \sum \limits_{i=n}^{m} H_{i}^{(0)} \right) l_m = \sum \limits_{i=n}^{m+1} \left( \sum \limits_j P_{i,j} \right) \left( \Delta_i^{(0)} - \Delta_{m+1}^{(0)} \right) + \sum \limits_{i=n}^{m} \left( \sum \limits_j P_{i,j} \right) \left( \Delta_{m+1}^{(0)} - \Delta_{m}^{(0)} \right) $$

e le sottraiamo l'equazione relativa al piano $m+1$, ottenendo

$$\left( \sum \limits_{i=n}^{m} H_{i}^{(0)} \right) l_m = \sum \limits_{i=n}^{m} V_{i} \cdot \delta_{m+1}^{(0)}$$

che ci permette do trovare

$$H_{m}^{(0)} = \frac{\sum \limits_{i=n}^{m} V_{i} \cdot \delta_{m+1}^{(0)}}{l_{m}} - \sum \limits_{i=n}^{m+1} H_{i}^{(0)} $$

Con questa formula è possibile calcolare ricorsivamente i valori delle forze fittizie di piano $H_{m}^{(0)}$. Applicando tali forze alla struttura otterremo degli spostamenti di piano $\delta_{m}^{(1)}$ il cui effetto deve essere sommato a quello degli spostamenti $\delta_{m}^{(0)}$. Dovremo pertanto a incrementare i valori delle forze fittizie delle quantità $H_m^{(1)}$ calcolabili a loro volta mediante le relazioni

$$H_{m}^{(1)} = \frac{\sum \limits_{i=n}^{m} V_{i} \cdot \delta_{m+1}^{(1)}}{l_{m}} - \sum \limits_{i=n}^{m+1} H_{i}^{(1)} $$

Applicando le forze $H_m^{(1)}$ alla struttura otterremo nuovamente degli spostamenti $\delta_{m}^{(2)}$, che determinano l'incremento delle forze fittizie della quantità

$$H_{m}^{(2)} = \frac{\sum \limits_{i=n}^{m} V_{i} \cdot \delta_{m+1}^{(2)}}{l_{m}} - \sum \limits_{i=n}^{m+1} H_{i}^{(2)} $$

I valori finali delle forze di piano $H_{m}$ potranno essere determinando calcolando la serie numerica

$$ H_m = \sum \limits_{i=0}^{\infty} H_{m}^{(i)} $$

Supponendo la serie convergente, si può pensare di risolverla numericamente procedendo al calcolo della progressione associata fin a quando ilre lativo valore non si stabilizza.

In alternativa, se la struttura è sufficientemente regolare, possiamo supporre che i termini $H_{m}^{(i)}$ varino con una legge di tipo geometrico secondo la relazione

$$H_{m}^{(i+1)} = k_{m} \cdot H_{m}^{(i)} $$

in cui $k_{m}$ è un numero reale per determinare il quale sarà comunque necessario eseguire almeno due iterazioni.

Possiamo allora scrivere

$$H_{m} = \sum \limits_{i=0}^{\infty} H_{m}^{(i)} = H_{m}^{(0)} \left( \sum \limits_{i=0}^{\infty} k_{m}^i\right) = \frac{H_{m}^{(0)}}{1-k_{m}}$$

Si effettua un'analisi non lineare che deve tener conto della non linearità meccanica e geometrica.

Per il calcestruzzo si impiega la parabola di Sargin assumendo

$$E_{cd} = \frac{E_{cm}} {\gamma_{cE}}$$

in cui $\gamma_{cE} = 1,2$

Si tiene conto della viscosità moltiplicando le deformazioni per $1+\varphi_{eff}$.

Per l'acciaio è possibile tener conto dell'effetto positivo del tension stiffening (interazione armatura-calcestruzzo in zona tesa).