tecnica_costruzioni:cls:slu_secondo_ordine
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
tecnica_costruzioni:cls:slu_secondo_ordine [2012/12/02 19:16] 127.0.0.1 modifica esterna |
tecnica_costruzioni:cls:slu_secondo_ordine [2021/06/13 13:09] |
||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Instabilità ====== | ||
- | Gli effetti del secondo ordine possono essere trascurati se il corrispondente incremento delle sollecitazioni risulta inferiore al 10%. | ||
- | |||
- | ===== Influenza della viscosità sulle deformabilità ===== | ||
- | |||
- | Nella combinazinoe di carico quasi permanente è possibile tener conto del fenomeno della viscosità mediante il coefficiente di viscosità a tempo infinito $\phi (t_0, \infty)$. | ||
- | |||
- | Nella combinazione fondamentale di stato limite ultimo tale valore è eccessivamente cautelativo potendo infatti supporre che per l' | ||
- | |||
- | Per questo motivo, nella combinazione fondamentale di SLU, si tiene conto dell' | ||
- | |||
- | $$\varphi_{eff} = \phi (t_0, \infty) \frac{M_{0k, | ||
- | |||
- | in cui: | ||
- | * $M_{0k,QP}$ è il momento flettente del primo ordine per la combinazione quasi permanente (SLE) | ||
- | * $M_{0Ed}$ è il momento flettente del primo ordine per la combinazione di progetto allo SLU | ||
- | |||
- | I momenti sono calcolati nella sezione soggetta al massimo momento. | ||
- | |||
- | E' possibile trascurare gli effetti della viscosità sulla deformabilità della struttura se | ||
- | * $\varphi (t_0, \infty) \le 2$ | ||
- | * $\lambda < 75$ | ||
- | * ${M_{0Ed}}/ | ||
- | |||
- | ===== Elementi isolati ===== | ||
- | |||
- | Per poter trascurare gli effetti del secondo ordine la snellezza dell' | ||
- | |||
- | $$\lambda \le \lambda_{lim}$$ | ||
- | |||
- | La snellezza è definita come | ||
- | |||
- | $$\lambda = \frac{l_0}{i}$$ | ||
- | |||
- | in cui: | ||
- | * $l_0$ è la lunghezza libera d’inflessione | ||
- | * $i$ è il raggio d’inerzia della sezione di calcestruzzo non fessurato | ||
- | |||
- | |||
- | Il termine $\lambda_{lim}$ è definito come segue | ||
- | |||
- | $$ \lambda_{lim} = 20 \frac{ A \cdot B \cdot C }{ \sqrt{\nu} }$$ | ||
- | |||
- | dove: | ||
- | * $A = {1}/{1 + 0,2 \varphi_{eff}}$ (se $\varphi_{eff}$ non è noto $A = 0,7$) | ||
- | * $\varphi_{eff}$ è il coefficiente efficace di viscosità; $\varphi_{eff} = \varphi(\infty, | ||
- | * M_{0Eqp} è il momento del primo ordine nella combinazione quasi permanente | ||
- | * M_{0Ed} è il momento del primo ordine nella combinazione fondamentale allo stato limite ultimo | ||
- | * $B = 1 + 2 \omega$ | ||
- | * $C = 1,7 - r_m$ in cui $r_m = \frac{M_{01}}{M_{02}}$ rapporto tra i momenti; se $r_m$ non è noto, si può adottare $C = 0,7$; $M_{01}$ ed $M_{02}$ sono i momenti del primo ordine alle estremità, $|M_{02}| \ge |M_{01}|$, se provocano trazione sullo stesso lato, $r_m$ è positivo (cioè C ≤ 1,7), in caso contrario negativo (cioè C > 1,7). Nei casi seguenti, si raccomanda che $r_m$ sia assunto pari a $1,0$ (cioè C = 0,7): | ||
- | * per telai a nodi fissi soggetti solo a momenti del primo ordine o a momenti dovuti prevalentemente ad imperfezioni o a carico trasversale; | ||
- | * per telai a nodi mobili in generale. | ||
- | * $\nu = \frac{N_{Ed}}{A_c \cdot f_{cd}}$ forza assiale adimensionale; | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | Se $\lambda > \lambda_{lim}$ è necessario tener conto degli effetti del secondo ordine. | ||
- | |||
- | Per la verifica di elementi isolati la normativa fornisce due metodi semplificati: | ||
- | |||
- | ==== Metodo della curvatura nominale ==== | ||
- | |||
- | Il momento complessivo agente è pari a | ||
- | |||
- | $$M_{Ed} = M_{0,Ed} + N_{Ed} \cdot e_2 $$ | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | $$e_2 = \left(\frac{1}{r}\right)_{nom} \frac{L_0^2}{c}$$ | ||
- | |||
- | $c$ è un fattore fattore che dipende dalla distribuzione della curvatura | ||
- | |||
- | ^ curvatura | ||
- | | sinusoidale | ||
- | | costante | ||
- | | triangolare | ||
- | |||
- | Per valutare la curvatura nominale, nel caso di sezione trasversale simmetrica, si può assumere | ||
- | |||
- | $$\left(\frac{1}{r}\right)_{nom} = k_r \, k_{\varphi} \, \frac{1}{r_0}$$ | ||
- | |||
- | $k_r$ è un coefficiente che ci permette di tener conto del carico assiale | ||
- | |||
- | $$k_r = \frac{\nu_u - \nu}{ \nu_u - \nu_{bal}} $$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | * $\nu$ è la forza assiale relativa $\nu = {N_{Ed}} / {(A_c \, f_{cd})}$ | ||
- | * $\nu_u = 1 + \omega$ | ||
- | * $\nu_{bal}$ | ||
- | |||
- | $k_\varphi$ ci permette di tener conto dell' | ||
- | |||
- | $$k_\varphi = 1 + \beta \, \varphi_{eff} = 1 + \left( 0,35 + \frac{f_{ck}}{200} + \frac{\lambda}{150} \right) \varphi_{eff} \ge 1 $$ | ||
- | |||
- | |||
- | ==== Metodo della rigidezza nominale ==== | ||
- | |||
- | Il metodo della rigidezza nominale tiene conto degli effetti del secondo ordine considerando convenzionalmente un comportamento meccanico lineare con una rigidezza nominale a flessione che tiene conto della fessurazione, | ||
- | non linearità dei materiali, della viscosità, mediante la relazione | ||
- | |||
- | $$(E \, J)_{nom} = K_c \, E_{cd} \, J_c + K_s \, E_s \, J_s$$ | ||
- | |||
- | in cui: | ||
- | * $E_{cd}$ è il valore di progetto del modulo del calcestruzzo $E_{cd} = E_c / 1,2$ | ||
- | * $J_c$ è il momento d’inerzia della sezione di calcestruzzo | ||
- | * $E_s$ è il modulo dell’acciaio | ||
- | * $J_s$ è il momento d’inerzia delle armature rispetto al baricentro della sezione di calcestruzzo | ||
- | * $K_c$ è un coefficiente riduttivo relativo a fessurazione e viscosità; $K_c = \frac{k_1 \, k_2}{1 + \phi_{ef}}$ | ||
- | * $k_1 = \sqrt{\frac{f_{ck}}{20}}$ | ||
- | * $k_2 = \nu \cdot \frac{\lambda}{170} \le 0,20$ oppure $k_2 = 0,30 \, \nu \le 0,20$ se $\lambda$ non è definito | ||
- | * $K_s$ è un coefficiente che permette di tener conto del contributo delle armature; per $\rho > 2 ‰$ $K_s = 1$ | ||
- | |||
- | Con questa ipotesi il momento agente complessivo, | ||
- | |||
- | $$M_{Ed} = M_{0,Ed} \left( 1 + \frac{\beta}{N_B / N_{Ed} - 1}\right)$$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | * $N_{Ed}$ è il carico assiale derivante dall' | ||
- | * $M_{0,Ed}$ è il momento derivante dall' | ||
- | * $N_B$ è il carico critico euleriano calcolato con la rigidezza nominale; $N_B = \pi^2 \frac{(E \, J)_{nom}}{L_0^2}$ | ||
- | * $\beta = {\pi^2}/ | ||
- | * $c_0$ dipende dalla distribuzione del momento del primo ordine | ||
- | |||
- | ^ $M_{0, | ||
- | | costante | ||
- | | parabolico | ||
- | | triangolare simmetrico | ||
- | |||
- | |||
- | ===== Edifici ===== | ||
- | |||
- | In sede di verifica globale dell' | ||
- | |||
- | $$F_{V,Ed} \le k_1 \frac{n_s}{n_s + 1,6} \frac{\sum E_{cd} \, I_c}{L^2}$$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | * $F_{V,Ed}$ è il carico verticale totale | ||
- | * $n_s$ è il numero dei piani | ||
- | * $L$ è l' | ||
- | * $E_{cd}$ è il valore di progetto del modulo di elasticità del calcestruzzo | ||
- | * $I_c$ è il momento di inerzia dell' | ||
- | |||
- | Affinché la suddetta formula sia applicabile è richiesta una certa regolarità dell' | ||
- | * non dobbiamo essere in presenza di rotazioni torsionali siginifcative dovuti ad una distribuzone irregolare dei controventi; | ||
- | * le deformazioni dovute al taglio devono essere trascurabili rispetto a quelle flessionali | ||
- | * i contrventi sono fissati in maniera sufficientemente rigida alla base | ||
- | * la rigidezza dei controvento è abbastanza costante | ||
- | * i carichi verticali aumentano in maniera graduale tra un piano ed il sottostante | ||
- | |||
- | Qualora sia necessario tener conto degli effetti del secondo ordine, la normativa prevede l' | ||
- | |||
- | In alternativa, | ||
- | * travi e pilastri hanno rigidezze non molto diverse | ||
- | * la snellezza di ogni pilastro è minore di 50 oppure $20/ \sqrt{\nu}$ | ||
- | è possibile tener conto degli effetti globali del secondo ordine servendosi di metodi semplificati (ad esempio il metodo P-$\Delta$) | ||
- | |||
- | ==== Metodo P-Delta ==== | ||
- | |||
- | Teniamo conto degli effetti del secondo ordine introducendo un forza orizzontale di piano fittizia che determini al piede del pilastro un momento pari a quello determinato dall' | ||
- | |||
- | Supponiamo di avere un edificio di $n$ piani, all' | ||
- | |||
- | $$H_n^{(0)} \cdot l_n = \sum \limits_i P_{n,i} \left( \Delta_n^{(0)} - \Delta_{n-1}^{(0)} \right)$$ | ||
- | |||
- | in cui: | ||
- | * $\Delta_j^{(0)}$ è lo spostamento relativo del piano $j$ rispetto al piano $j-1$ derviante dall' | ||
- | * $l_j$ è l' | ||
- | |||
- | Dalla precedente relazione otteniamo | ||
- | |||
- | $$H_n^{(0)} = \sum \limits_i P_{n,i} \left( \Delta_n^{(0)} - \Delta_{n-1}^{(0)} \right) / l_n$$ | ||
- | |||
- | Indicando con $\delta_{n}^{(0)}$ lo spostamento relativo del piano $n$ rispetto al piano $n-1$ e con $V_{n}$ la risultante dei carichi verticali agenti sui pilastri del piano $n-1$ otteniamo otteniamo | ||
- | |||
- | $$H_n^{(0)} = \frac{V_n \cdot \delta_{n}^{(0)}}{l_n}$$ | ||
- | |||
- | Al piano inferiore | ||
- | |||
- | $$H_{n}^{(0)} \cdot \left( l_n + l_{n-1} \right) + H_{n-1}^{(0)} \cdot l_{n-1} = \sum \limits_i P_{n, | ||
- | |||
- | che può essere scritta nella forma | ||
- | |||
- | $$H_{n}^{(0)} \cdot l_n + H_{n}^{(0)} \cdot l_{n-1} + H_{n-1}^{(0)} \cdot l_{n-1} = \sum \limits_i P_{n, | ||
- | |||
- | semplificando | ||
- | |||
- | $$H_{n}^{(0)} \cdot l_{n-1} + H_{n-1}^{(0)} \cdot l_{n-1} = \sum \limits_i P_{n, | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$H_{n-1}^{(0)} | ||
- | |||
- | Indicando con $V_{n-1}$ la risultante dei carichi verticali agenti sui pilastri del piano $n-2$ otteniamo | ||
- | |||
- | $$H_{n-1}^{(0)} | ||
- | |||
- | In generale osserviamo che se al piano $m$ deve valere la relazione | ||
- | |||
- | $$\sum \limits_{i=n}^{m} \left( H_{i}^{(0)} \cdot \sum \limits_{j=i}^{m} l_j \right) = \sum \limits_{i=n}^{m} \left( \sum \limits_j P_{i,j} \right) \left( \Delta_i^{(0)} - \Delta_{m}^{(0)} \right) $$ | ||
- | |||
- | al piano superiore varrà la relazione | ||
- | |||
- | $$\sum \limits_{i=n}^{m+1} \left( H_{i}^{(0)} \cdot \sum \limits_{j=i}^{m+1} l_j \right) = \sum \limits_{i=n}^{m+1} \left( \sum \limits_j P_{i,j} \right) \left( \Delta_i^{(0)} - \Delta_{m+1}^{(0)} \right) $$ | ||
- | |||
- | Riscriviamo la prima relazione nella forma | ||
- | |||
- | $$\sum \limits_{i=n}^{m+1} \left( H_{i}^{(0)} \cdot \sum \limits_{j=i}^{m+1} l_j \right) + \left( \sum \limits_{i=n}^{m} H_{i}^{(0)} \right) l_m | ||
- | = \sum \limits_{i=n}^{m+1} \left( \sum \limits_j P_{i,j} \right) \left( \Delta_i^{(0)} - \Delta_{m+1}^{(0)} \right) + | ||
- | \sum \limits_{i=n}^{m} \left( \sum \limits_j P_{i,j} \right) \left( \Delta_{m+1}^{(0)} - \Delta_{m}^{(0)} \right) $$ | ||
- | |||
- | e le sottraiamo l' | ||
- | |||
- | $$\left( \sum \limits_{i=n}^{m} H_{i}^{(0)} \right) l_m = \sum \limits_{i=n}^{m} V_{i} \cdot \delta_{m+1}^{(0)}$$ | ||
- | |||
- | che ci permette do trovare | ||
- | |||
- | $$H_{m}^{(0)} = \frac{\sum \limits_{i=n}^{m} V_{i} \cdot \delta_{m+1}^{(0)}}{l_{m}} - \sum \limits_{i=n}^{m+1} H_{i}^{(0)} $$ | ||
- | |||
- | Con questa formula è possibile calcolare ricorsivamente i valori delle forze fittizie di piano $H_{m}^{(0)}$. Applicando tali forze alla struttura otterremo degli spostamenti di piano $\delta_{m}^{(1)}$ il cui effetto deve essere sommato a quello degli spostamenti $\delta_{m}^{(0)}$. Dovremo pertanto a incrementare i valori delle forze fittizie delle quantità $H_m^{(1)}$ calcolabili a loro volta mediante le relazioni | ||
- | |||
- | $$H_{m}^{(1)} = \frac{\sum \limits_{i=n}^{m} V_{i} \cdot \delta_{m+1}^{(1)}}{l_{m}} - \sum \limits_{i=n}^{m+1} H_{i}^{(1)} $$ | ||
- | |||
- | Applicando le forze $H_m^{(1)}$ alla struttura otterremo nuovamente degli spostamenti $\delta_{m}^{(2)}$, | ||
- | |||
- | $$H_{m}^{(2)} = \frac{\sum \limits_{i=n}^{m} V_{i} \cdot \delta_{m+1}^{(2)}}{l_{m}} - \sum \limits_{i=n}^{m+1} H_{i}^{(2)} $$ | ||
- | |||
- | I valori finali delle forze di piano $H_{m}$ potranno essere determinando calcolando la serie numerica | ||
- | |||
- | $$ H_m = \sum \limits_{i=0}^{\infty} H_{m}^{(i)} $$ | ||
- | |||
- | Supponendo la serie convergente, | ||
- | |||
- | In alternativa, | ||
- | |||
- | $$H_{m}^{(i+1)} = k_{m} \cdot H_{m}^{(i)} $$ | ||
- | |||
- | in cui $k_{m}$ è un numero reale per determinare il quale sarà comunque necessario eseguire almeno due iterazioni. | ||
- | |||
- | Possiamo allora scrivere | ||
- | |||
- | $$H_{m} = \sum \limits_{i=0}^{\infty} H_{m}^{(i)} = | ||
- | H_{m}^{(0)} \left( \sum \limits_{i=0}^{\infty} k_{m}^i\right) = | ||
- | \frac{H_{m}^{(0)}}{1-k_{m}}$$ | ||
- | |||
- | |||
- | ==== Metodo generale ==== | ||
- | |||
- | Si effettua un' | ||
- | |||
- | Per il calcestruzzo si impiega la parabola di Sargin assumendo | ||
- | |||
- | $$E_{cd} = \frac{E_{cm}} {\gamma_{cE}}$$ | ||
- | |||
- | in cui $\gamma_{cE} = 1,2$ | ||
- | |||
- | Si tiene conto della viscosità moltiplicando le deformazioni per $1+\varphi_{eff}$. | ||
- | |||
- | Per l' |
tecnica_costruzioni/cls/slu_secondo_ordine.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)