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====== Flessione e sforzo normale ======


===== Verifica sezione rettangolare =====

Consideriamo una sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta.

La sezione ha le seguenti caratteristiche:
  * $b$ base 
  * $h$ altezza 
  * $d$ distanza dal lembo compresso dell'armatura tesa (altezza utile)
  * $A_s$ l'area dell'armatura tesa
  * $d'$ distanza dal lembo compresso dell'armatura compressa
  * $A'_s$ l'area dell'armatura compressa

La risultante di compressione della nostra sezione è data da

$$N_{Rd} = \int \limits_{Cls} \sigma_c \, \mathrm{d}A + A_s \, \sigma_s + A'_s \, \sigma'_s $$

Il momento resistente è invece dato 

$$M_{Rd,y} = \int \limits_{Cls} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}A + A_s \, \sigma_s \left( d - \frac{h}{2} \right) - A'_s \, \sigma'_s \left( \frac{h}{2} - d'\right) $$

==== Risultante calcestruzzo ====


Posta $x$ la distanza dell'asse neutro dal bordo compresso, calcoliamo la risultante di compressione della porzione in calcestruzzo

$$N_{Rd,c} = b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, \mathrm{d}z$$

Effettuiamo un primo cambio di variabile

$$\varepsilon_c = \frac{\bar{\varepsilon}_c}{x} z$$

in cui $\bar{\varepsilon}_c$ è la deformazione massima della porzione in calcestruzzo; con la sostituzione di cui sopra otteniamo

$$N_{Rd,c} = \frac{b\, x}{\bar{\varepsilon}_c} \int \limits_{0}^{\bar{\varepsilon}_c} \sigma_c \, \mathrm{d}\varepsilon_c$$

Con le posizioni ulteriori

$$\eta = \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}$$

$$\bar{\eta} = \frac{\bar{\varepsilon_c}}{\varepsilon_{c2}}$$

in cui $\varepsilon_{c2}$ può essere ottenuto dalla tab. 3.1 dell'eurocodice 2; otteniamo 

$$N_{Rd,c} = \frac{b\, x}{\bar{\eta}} \int \limits_{0}^{\bar{\eta}} \sigma_c \, \mathrm{d}\eta$$

Per riuscire ad integrare dobbiamo analizzare i due casi:
  * $0 \le \eta \le 1$

$$N_{Rd,c} = \frac{f_{cd} \, b\, x}{\bar{\eta}} \int \limits_{0}^{\bar{\eta}} [1-(1-\eta)^n] \; \mathrm{d} \eta =
f_{cd} \, b\, x \left[ 1 + \frac{(1-\bar{\eta}) ^{n+1} -1}{(n+1) \bar{\eta}} \right]$$

  * $1 \le \eta \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2}$ ( per $\varepsilon_{cu2}$ vedi sempre la tabella 3.1 dell'eurocodice 2)

$$N_{Rd,c} = \frac{f_{cd} \, b\, x}{\bar{\eta}} \left( \int \limits_{0}^{1} [1-(1-\eta)^n] \; \mathrm{d} \eta + \int \limits_{1}^{\bar{\eta}} \; \mathrm{d}\eta \right) = f_{cd} \, b\, x \left( 1 - \frac{1}{(n+1) \bar{\eta}}\right) $$

Con la posizione

$$\beta_1 =
\begin{cases} 
1 - \frac{1 - (1-\eta)^{n+1}}{(n+1) \, \eta} & 0 < \eta < 1 \\\\
1 - \frac{1}{(n+1) \, \eta} & 1 \le \eta \le \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{c2}}
\end{cases}$$

otteniamo

$$N_{Rd,c} = f_{cd} \, b \, \beta_1(\bar{\eta}) \, x $$

Calcoliamo il momento resistente della porzione in calcestruzzo rispetto al lembo superiore compresso

$$M_{Rd,c} = b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, (x-z) \, \mathrm{d}z = b \, x \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, \mathrm{d}z - b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z$$

Il primo integrale è già stato calcolato

$$b \, x \, \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, \mathrm{d}z = f_{cd} \, b \, \beta_1(\bar{\eta}) \, x^2$$

Per il secondo proseguiamo, analogamente a quanto già fatto sopra, con la sostituzione

$$\varepsilon_c = \frac{\bar{\varepsilon}_c}{x} z$$

ottenendo

$$b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z = b \, \frac{x^2}{\bar{\varepsilon}_c^2} \int \limits_{0}^{\bar{\varepsilon}_c} \sigma_c \, \varepsilon_c \; \mathrm{d}\varepsilon_c$$

Operiamo quindi le altre due sostituzioni

$$\eta = \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}$$

$$\bar{\eta} = \frac{\bar{\varepsilon_c}}{\varepsilon_{c2}}$$

arrivando a scrivere

$$b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z = \frac{b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \int \limits_{0}^{\bar{\eta}} \sigma_c \, \eta \; \mathrm{d}\eta$$

Distinguiamo i due casi:

  * $0 \le \bar{\eta} \le 1 $

$$b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z = \frac{f_{cd} \, b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \int \limits_{0}^{\bar{\eta}} [1-(1-\eta)^n] \, \eta \; \mathrm{d}\eta = 
\frac{f_{cd} \, b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \left( \frac{\bar{\eta}^2}{2} + \frac{ (1-\bar{\eta})^{n+1} \, \bar{\eta}}{n+1} + \frac{(1-\bar{\eta})^{n+2}-1}{(n+1)(n+2)} \right) $$

  * $1 \le \bar{\eta} \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2} $

$$b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z =
 \frac{f_{cd} \, b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \left( \int \limits_{0}^{1} [1-(1-\eta)^n] \, \eta \; \mathrm{d}\eta + \int \limits_{1}^{\bar{\eta}} \eta \; \mathrm{d}\eta \right) =
\frac{f_{cd} \, b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \left( \frac{\bar{\eta}^2}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) $$

Unendo tutto otteniamo

  * $0 \le \bar{\eta} \le 1 $

$$M_{Rd,c} = 
f_{cd} \, b \, x^2  
\left[
\frac{1}{2}
- \frac{1}{(n+1) \, \bar{\eta}} 
+ \frac{1- (1-\bar{\eta})^{n+2}}{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2 }
\right] $$

  * $1 \le \bar{\eta} \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2} $

$$M_{Rd,c} = f_{cd} \, b \, x^2 \left[  \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1) \, \bar{\eta}} + \frac{1}{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2}  \right]$$

Dividendo per $N_{Rd,c}$ otteniamo la distanza della risultante delle azioni sul cls dal bordo superiore compresso $d_c$

$$d_c = \frac{M_{Rd,c}}{N_{Rd,c}}$$

e quindi


  * $0 \le \bar{\eta} \le 1 $

$$d_c = \frac
{\frac{1}{2}
- \frac{1}{(n+1) \, \bar{\eta}} 
+ \frac{1- (1-\bar{\eta})^{n+2}}{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2 } }
{1 - \frac{1 - (1-\eta)^{n+1}}{(n+1) \, \eta}}
\, x = 
\frac
{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2 - 2 \, (n+2) \, \bar{\eta} + 2 - 2 \, (1 - \bar{\eta})^{n+2}}
{2 \, (n+2) \left[ (n+1) \bar{\eta} - 1 + (1-\bar{\eta})^{n+1} \right] \, \bar{\eta} }
\, x $$

  * $1 \le \bar{\eta} \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2} $

$$d_c = 
\frac
{\frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1) \, \bar{\eta}} + \frac{1}{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2}}
{1 - \frac{1}{(n+1) \, \eta}}
\, x =
\frac
{(n+1) (n+2) \, \bar{\eta}^2 - 2 (n+2) \, \bar{\eta} + 2}
{2 \, (n+2) \, \left[(n+1) \, \bar{\eta} -1 \right] \, \bar{\eta}}
\, x$$

Definendo il coefficiente di posizione $\beta_2 (\eta)$ come segue

$$\beta_2 (\eta) = 
\begin{cases}
\frac
{(n+1)(n+2) \, \eta^2 - 2 \, (n+2) \, \eta + 2 - 2 \, (1 - \eta)^{n+2}}
{2 \, (n+2) \left[ (n+1) \eta - 1 + (1-\eta)^{n+1} \right] \, \eta }
& 0 \le \eta \le 1\\\\
\frac
{(n+1) (n+2) \, \eta^2 - 2 (n+2) \, \eta + 2}
{2 \, (n+2) \, \left[(n+1) \, \eta -1 \right] \, \eta}
& 1 \le \eta \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2} 
\end{cases}$$

possiamo scrivere

$$d_c = \beta_2(\bar{\eta}) \, x$$

Nel caso di calcestruzzo con $f_{ck} \le 50 \, MPa$, il coefficiente $n$ della legge costitutiva del calcestruzzo è pari a 2, e la deformazione $\varepsilon_{c2}$ è pari a $- 2 ‰$. Le formule per il calcolo di $\beta_1$ e $\beta_2$ diventano

$$\beta_1 = \begin{cases} \frac{\eta}{3} (3 - \eta) & 0 < \eta \le 1 \\\\
1 - \frac{1}{3 \, \eta} & 1 < \eta \le \frac{3,5}{2}  \end{cases}$$

$$\beta_2 = \begin{cases} \frac{4 - \eta}{4 (3 - \eta) }& 0 < \eta \le 1 \\\\
\frac{6 \eta^2 - 4 \eta + 1}{12 \eta^2 - 4 \eta} & 1 < \eta \le \frac{3,5}{2}  \end{cases}$$

$$\eta = \frac{\varepsilon_c}{- 2 ‰}$$

==== Calcolo momento resistente ====

La risultante di compressione è data da

$$N_{Rd} = \int \limits_A \sigma \, \mathrm{d}A = - f_{cd} \, b \, x \, \beta_1 + A_s \, \sigma_s + A'_s \, \sigma'_s$$

Invece il momento resistente massimo è dato da

$$M_{Rd,z} = \int \limits_A \sigma \, y \, \mathrm{d}A = f_{cd} \, b \, x \, \beta_1 \left( \frac{h}{2} - \beta_2 \, x \right) + A_s \, \sigma_s \, \left( d - \frac{h}{2} \right) - A'_s \, \sigma'_s \, \left( \frac{h}{2} - d' \right) $$

Nelle formule di cui sopra:

  * $\varepsilon_c$ è la deformazione nel lembo superiore compresso in calcestruzzo;

  * $\sigma_s$ è le tensione nell'armatura tesa; si calcola a partire dalla relativa deformazione $\varepsilon_s$

$$\sigma_s = \begin{cases} E_s \, \varepsilon_s & \varepsilon_s < \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}\\\\
f_{yd} & \varepsilon_s \ge \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}\end{cases}$$

  * $\sigma'_s$ è le tensione nell'armatura compressa; la calcoliamo analogamente a quanto visto sopra a partire da $\varepsilon'_s$

$$\sigma'_s = \begin{cases} E_s \, \varepsilon'_s & |\varepsilon'_s| < \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}\\\\
-f_{yd} & |\varepsilon'_s| \ge \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}\end{cases}$$

  * $\beta_1$ è il coefficiente di riempimento visto sopra
  * $\beta_2$ è il coefficiente di posizione visto sopra

Notiamo che $x$, $\varepsilon_s$ e $\varepsilon'_s$ sono legati dalle relazioni

$$x = - \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_s - \varepsilon_c } d $$

$$\varepsilon_s = - \frac{d-x}{x} \varepsilon_c$$

$$\varepsilon'_s = - \frac{x-d'}{d} (\varepsilon_s - \varepsilon_c) $$
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