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--- tecnica_costruzioni:cls:slu_pressoflessione [2012/12/02 19:16]
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+++ tecnica_costruzioni:cls:slu_pressoflessione [2021/06/13 13:09]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Flessione e sforzo normale ======
-===== Verifica sezione rettangolare =====
-Consideriamo una sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta.
-La sezione ha le seguenti caratteristiche:
-  * $b$ base
-  * $h$ altezza
-  * $d$ distanza dal lembo compresso dell'armatura tesa (altezza utile)
-  * $A_s$ l'area dell'armatura tesa
-  * $d'$ distanza dal lembo compresso dell'armatura compressa
-  * $A'_s$ l'area dell'armatura compressa
-La risultante di compressione della nostra sezione è data da
-$$N_{Rd} = \int \limits_{Cls} \sigma_c \, \mathrm{d}A + A_s \, \sigma_s + A'_s \, \sigma'_s $$
-Il momento resistente è invece dato
-$$M_{Rd} = \int \limits_{Cls} \sigma_c \, y \, \mathrm{d}A + A_s \, \sigma_s \left( d - \frac{h}{2} \right) - A'_s \, \sigma'_s \left( \frac{h}{2} - d'\right) $$
-==== Risultante calcestruzzo ====
-Posta $x$ la distanza dell'asse neutro dal bordo compresso, calcoliamo la risultante di compressione della porzione in calcestruzzo
-$$N_{Rd,c} = b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, \mathrm{d}z$$
-Effettuiamo un primo cambio di variabile
-$$\varepsilon_c = \frac{\bar{\varepsilon}_c}{x} z$$
-in cui $\bar{\varepsilon}_c$ è la deformazione massima della porzione in calcestruzzo; con la sostituzione di cui sopra otteniamo
-$$N_{Rd,c} = \frac{b\, x}{\bar{\varepsilon}_c} \int \limits_{0}^{\bar{\varepsilon}_c} \sigma_c \, \mathrm{d}\varepsilon_c$$
-Con le posizioni ulteriori
-$$\eta = \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}$$
-$$\bar{\eta} = \frac{\bar{\varepsilon_c}}{\varepsilon_{c2}}$$
-in cui $\varepsilon_{c2}$ può essere ottenuto dalla tab. 3.1 dell'eurocodice 2; otteniamo
-$$N_{Rd,c} = \frac{b\, x}{\bar{\eta}} \int \limits_{0}^{\bar{\eta}} \sigma_c \, \mathrm{d}\eta$$
-Per riuscire ad integrare dobbiamo analizzare i due casi:
-  * $0 \le \eta \le 1$
-$$N_{Rd,c} = \frac{f_{cd} \, b\, x}{\bar{\eta}} \int \limits_{0}^{\bar{\eta}} [1-(1-\eta)^n] \; \mathrm{d} \eta =
-f_{cd} \, b\, x \left[ 1 + \frac{(1-\bar{\eta}) ^{n+1} -1}{(n+1) \bar{\eta}} \right]$$
-  * $1 \le \eta \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2}$ ( per $\varepsilon_{cu2}$ vedi sempre la tabella 3.1 dell'eurocodice 2)
-$$N_{Rd,c} = \frac{f_{cd} \, b\, x}{\bar{\eta}} \left( \int \limits_{0}^{1} [1-(1-\eta)^n] \; \mathrm{d} \eta + \int \limits_{1}^{\bar{\eta}} \; \mathrm{d}\eta \right) = f_{cd} \, b\, x \left( 1 - \frac{1}{(n+1) \bar{\eta}}\right) $$
-Con la posizione
-$$\beta_1 =
-\begin{cases}
-- \frac{1 - (1-\eta)^{n+1}}{(n+1) \, \eta} & 0 < \eta < 1 \\\\
-- \frac{1}{(n+1) \, \eta} & 1 \le \eta \le \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{c2}}
-\end{cases}$$
-otteniamo
-$$N_{Rd,c} = f_{cd} \, b \, \beta_1(\bar{\eta}) \, x $$
-Calcoliamo il momento resistente della porzione in calcestruzzo rispetto al lembo superiore compresso
-$$M_{Rd,c} = b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, (x-z) \, \mathrm{d}z = b \, x \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, \mathrm{d}z - b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z$$
-Il primo integrale è già stato calcolato
-$$b \, x \, \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, \mathrm{d}z = f_{cd} \, b \, \beta_1(\bar{\eta}) \, x^2$$
-Per il secondo proseguiamo, analogamente a quanto già fatto sopra, con la sostituzione
-$$\varepsilon_c = \frac{\bar{\varepsilon}_c}{x} z$$
-ottenendo
-$$b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z = b \, \frac{x^2}{\bar{\varepsilon}_c^2} \int \limits_{0}^{\bar{\varepsilon}_c} \sigma_c \, \varepsilon_c \; \mathrm{d}\varepsilon_c$$
-Operiamo quindi le altre due sostituzioni
-$$\eta = \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}$$
-$$\bar{\eta} = \frac{\bar{\varepsilon_c}}{\varepsilon_{c2}}$$
-arrivando a scrivere
-$$b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z = \frac{b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \int \limits_{0}^{\bar{\eta}} \sigma_c \, \eta \; \mathrm{d}\eta$$
-Distinguiamo i due casi:
-  * $0 \le \bar{\eta} \le 1 $
-$$b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z = \frac{f_{cd} \, b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \int \limits_{0}^{\bar{\eta}} [1-(1-\eta)^n] \, \eta \; \mathrm{d}\eta =
-\frac{f_{cd} \, b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \left( \frac{\bar{\eta}^2}{2} + \frac{ (1-\bar{\eta})^{n+1} \, \bar{\eta}}{n+1} + \frac{(1-\bar{\eta})^{n+2}-1}{(n+1)(n+2)} \right) $$
-  * $1 \le \bar{\eta} \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2} $
-$$b \int \limits_{0}^{x} \sigma_c \, z \, \mathrm{d}z =
- \frac{f_{cd} \, b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \left( \int \limits_{0}^{1} [1-(1-\eta)^n] \, \eta \; \mathrm{d}\eta + \int \limits_{1}^{\bar{\eta}} \eta \; \mathrm{d}\eta \right) =
-\frac{f_{cd} \, b \, x^2}{\bar{\eta}^2} \left( \frac{\bar{\eta}^2}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) $$
-Unendo tutto otteniamo
-  * $0 \le \bar{\eta} \le 1 $
-$$M_{Rd,c} =
-f_{cd} \, b \, x^2
-\left[
-\frac{1}{2}
-- \frac{1}{(n+1) \, \bar{\eta}}
-+ \frac{1- (1-\bar{\eta})^{n+2}}{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2 }
-\right] $$
-  * $1 \le \bar{\eta} \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2} $
-$$M_{Rd,c} = f_{cd} \, b \, x^2 \left[  \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1) \, \bar{\eta}} + \frac{1}{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2}  \right]$$
-Dividendo per $N_{Rd,c}$ otteniamo la distanza della risultante delle azioni sul cls dal bordo superiore compresso $d_c$
-$$d_c = \frac{M_{Rd,c}}{N_{Rd,c}}$$
-e quindi
-  * $0 \le \bar{\eta} \le 1 $
-$$d_c = \frac
-{\frac{1}{2}
-- \frac{1}{(n+1) \, \bar{\eta}}
-+ \frac{1- (1-\bar{\eta})^{n+2}}{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2 } }
-{1 - \frac{1 - (1-\eta)^{n+1}}{(n+1) \, \eta}}
-\, x =
-\frac
-{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2 - 2 \, (n+2) \, \bar{\eta} + 2 - 2 \, (1 - \bar{\eta})^{n+2}}
-{2 \, (n+2) \left[ (n+1) \bar{\eta} - 1 + (1-\bar{\eta})^{n+1} \right] \, \bar{\eta} }
-\, x $$
-  * $1 \le \bar{\eta} \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2} $
-$$d_c =
-\frac
-{\frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1) \, \bar{\eta}} + \frac{1}{(n+1)(n+2) \, \bar{\eta}^2}}
-{1 - \frac{1}{(n+1) \, \eta}}
-\, x =
-\frac
-{(n+1) (n+2) \, \bar{\eta}^2 - 2 (n+2) \, \bar{\eta} + 2}
-{2 \, (n+2) \, \left[(n+1) \, \bar{\eta} -1 \right] \, \bar{\eta}}
-\, x$$
-Definendo il coefficiente di posizione $\beta_2 (\eta)$ come segue
-$$\beta_2 (\eta) =
-\begin{cases}
-\frac
-{(n+1)(n+2) \, \eta^2 - 2 \, (n+2) \, \eta + 2 - 2 \, (1 - \eta)^{n+2}}
-{2 \, (n+2) \left[ (n+1) \eta - 1 + (1-\eta)^{n+1} \right] \, \eta }
-& 0 \le \eta \le 1\\\\
-\frac
-{(n+1) (n+2) \, \eta^2 - 2 (n+2) \, \eta + 2}
-{2 \, (n+2) \, \left[(n+1) \, \eta -1 \right] \, \eta}
-& 1 \le \eta \le \varepsilon_{cu2} / \varepsilon_{c2}
-\end{cases}$$
-possiamo scrivere
-$$d_c = \beta_2(\bar{\eta}) \, x$$
-Nel caso di calcestruzzo con $f_{ck} \le 50 \, MPa$, il coefficiente $n$ della legge costitutiva del calcestruzzo è pari a 2, e la deformazione $\varepsilon_{c2}$ è pari a $- 2 ‰$. Le formule per il calcolo di $\beta_1$ e $\beta_2$ diventano
-$$\beta_1 = \begin{cases} \frac{\eta}{3} (3 - \eta) & 0 < \eta \le 1 \\\\
-- \frac{1}{3 \, \eta} & 1 < \eta \le \frac{3,5}{2}  \end{cases}$$
-$$\beta_2 = \begin{cases} \frac{4 - \eta}{4 (3 - \eta) }& 0 < \eta \le 1 \\\\
-\frac{6 \eta^2 - 4 \eta + 1}{12 \eta^2 - 4 \eta} & 1 < \eta \le \frac{3,5}{2}  \end{cases}$$
-$$\eta = \frac{\varepsilon_c}{- 2 ‰}$$
-==== Calcolo momento resistente ====
-La risultante di compressione è data da
-$$N_{Rd} = \int \limits_A \sigma \, \mathrm{d}A = - f_{cd} \, b \, x \, \beta_1 + A_s \, \sigma_s + A'_s \, \sigma'_s$$
-Invece il momento resistente massimo è dato da
-$$M_{Rd,z} = \int \limits_A \sigma \, y \, \mathrm{d}A = f_{cd} \, b \, x \, \beta_1 \left( \frac{h}{2} - \beta_2 \, x \right) + A_s \, \sigma_s \, \left( d - \frac{h}{2} \right) - A'_s \, \sigma'_s \, \left( \frac{h}{2} - d' \right) $$
-Nelle formule di cui sopra:
-  * $\varepsilon_c$ è la deformazione nel lembo superiore compresso in calcestruzzo;
-  * $\sigma_s$ è le tensione nell'armatura tesa; si calcola a partire dalla relativa deformazione $\varepsilon_s$
-$$\sigma_s = \begin{cases} E_s \, \varepsilon_s & \varepsilon_s < \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}\\\\
-f_{yd} & \varepsilon_s \ge \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}\end{cases}$$
-  * $\sigma'_s$ è le tensione nell'armatura compressa; la calcoliamo analogamente a quanto visto sopra a partire da $\varepsilon'_s$
-$$\sigma'_s = \begin{cases} E_s \, \varepsilon'_s & |\varepsilon'_s| < \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}\\\\
--f_{yd} & |\varepsilon'_s| \ge \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}\end{cases}$$
-  * $\beta_1$ è il coefficiente di riempimento visto sopra
-  * $\beta_2$ è il coefficiente di posizione visto sopra
-Notiamo che $x$, $\varepsilon_s$ e $\varepsilon'_s$ sono legati dalle relazioni
-$$x = - \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_s - \varepsilon_c } d $$
-$$\varepsilon_s = - \frac{d-x}{x} \varepsilon_c$$
-$$\varepsilon'_s = - \frac{x-d'}{d} (\varepsilon_s - \varepsilon_c) $$

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