====== Calcestruzzo ======

===== Classi di consistenza =====

Classi di abbassamento al cono (slump)

^  Classe  ^  Abbassamento al cono  ^ 
|  S1  |  da 10 a 40  |
|  S2  |  da 50 a 90  |
|  S3  |  da 100 a 150  |
|  S4  |  da 160 a 210  |
|  S5  |  maggiore di 220  |

===== Tipologie di cemento =====

^Classi di resistenza  ^  Tipo  ^
|CEM 42,5 R - CEM 52,5 N - CEM 52,5 R |  Classe R  |
|CEM 32,5 R - CEM 42,5 N |  Classe N  |
|CEM 32,5 N |  Classe S  |

===== Parametri legati alla resistenza =====

==== Resistenza a trazione ====

  * Resistenza media a trazione

$$f_{ctm} = 
\begin{cases}
0,30 \cdot f_{ck}^{2/3} & f_{ck} \le 50 MPa\\\\
2,12 \cdot \ln \left( 1 + f_{cm} / 10 \right) &&  f_{ck} > 50 MPa
\end{cases}$$

  * Resistenza a trazione frattile 5 %

$$f_{ctk;0,05} = 0,7 \cdot f_{cm}$$

  * Resistenza a trazione frattile 95 %

$$f_{ctk;0,95} = 1,3 \cdot f_{cm}$$

==== Evoluzione nel tempo ====

Per la resistenza media

$$f_{cm}(t ) = \beta_{cc}(t ) f_{cm}$$

$$\beta_{cc}(t) = \exp \left[ s \left( 1 - \sqrt{ \frac{28}{t} } \right)  \right]$$

in cui:

  * $t$ è l’età del calcestruzzo in giorni
  * $s$ dipende dal tipo di cemento

| ^  Classe del Cemento  ^^^
| ::: ^  R  ^  N  ^  S  ^
^ s |  0,20  |  0,25   |  0,38   |

Per la resistenza caratteristica

$$f_{ck}(t ) = 
\begin{cases}
f_{cm}(t ) - 8 & [MPa] & 3 < t < 28\\\\
f_{ck} &&  t \ge 28
\end{cases}$$


===== Parametri legati alla deformabilità =====

==== Modulo di elasticità normale medio ====


$$E_{cm} = 22 \left( \frac{f_{cm}}{10} \right) 0,3$$

con $E_{cm}$ ed $f_{cm}$ espressi in MPa

==== Evoluzione nel tempo ====
$$E_{cm} (t) = 0,3  \frac{f_{cm}(t) }{f_{cm}} E_{cm}$$



===== Resistenze di calcolo =====

==== Resistenza a compressione di calcolo ====

$$f_{cd} = \alpha_{cc} \frac{f_{ck}}{\gamma_C}$$

in cui:
  * $\alpha_{cc}$ tiene conto degli effetti a lungo termine ella resistenza a compressione e degli effetti sfavorevoli determinati dalle modalità di applicazione del carico; in Italia $\alpha_{cc} = 0,85$ in generale; $\alpha_{cc} = 1,00$ nelle sole verifiche di resistenza al fuoco
  * $\gamma_C = 1,5$ è il coefficiente di sicurezza

==== Resistenza a trazione di calcolo ====

$$f_{ctd} = \alpha_{ct} \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_C}$$

in cui:
  * $\alpha_{ct}$ tiene conto della riduzione a lungo termine della resistenza a trazione e degli effetti sfavorevoli determinati dalle modalità di applicazione del carico; in Italia $\alpha_{ct} = 1,00$
  * $\gamma_C = 1,5$ è il coefficiente di sicurezza;

===== Leggi costitutive per verifica sezioni trasversali =====

Le seguenti leggi costitutive devono essere impiegate per la verifica a Stato Limite Ultimo di sezioni trasversali in c.a.

==== Legge parabola-rettangolo ====

$$\sigma_c = \begin{cases}
f_{cd} \left[ 1 - \left( 1 - \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}} \right)^n \right] & 0 \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2}\\\\
f_{cd} & \varepsilon_{c2} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}
\end{cases} $$

$$\frac{\mathrm{d} \sigma_c}{\mathrm{d} \varepsilon_c} = \begin{cases}
n \frac{f_{cd}}{\varepsilon_{c2}} \left( 1 - \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}} \right)^{n-1} & 0 \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2}\\\\
0 & \varepsilon_{c2} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}
\end{cases} $$

Nel caso $n = 2$

$$\sigma_c = \begin{cases}
- \frac{f_{cd}}{\varepsilon_{c2}^2} \varepsilon_c^2 + 2 \frac{f_{cd}}{\varepsilon_{c2}} \varepsilon_{c} & 0 \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2}\\\\
f_{cd} & \varepsilon_{c2} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}
\end{cases} $$

$$\frac{\mathrm{d} \sigma_c}{\mathrm{d} \varepsilon_c} = \begin{cases}
2 \left( - \frac{f_{cd}}{\varepsilon_{c2}^2} \varepsilon_c + \frac{f_{cd}}{\varepsilon_{c2}} \right) & 0 \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2}\\\\
0 & \varepsilon_{c2} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}
\end{cases} $$
==== Legge bilineare ====

$$\sigma_c = \begin{cases}
f_{cd} \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c3}} & 0 \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{c3}\\\\
f_{cd} & \varepsilon_{c3} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu3}
\end{cases} $$

$$\frac{\mathrm{d} \sigma_c}{\mathrm{d} \varepsilon_c} = \begin{cases}
\frac{f_{cd}}{\varepsilon_{c3}} & 0 \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{c3}\\\\
0 & \varepsilon_{c3} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu3}
\end{cases} $$

==== Legge rettangolare ====

$$\sigma_c = 
\begin{matrix}
\eta \, f_{cd} &  & (1-\lambda) \varepsilon_{cu3} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu3}
\end{matrix} $$

in cui:
  * $\lambda = \begin{cases} 0,80 & f_{ck} \le 50 MPa\\\\ 0,8 - (f_{ck} - 50) / 400 & 50 < f_{ck} \le 90 MPa\end{cases}$
  * $\eta = \begin{cases} 1,0 & f_{ck} \le 50 MPa \\\\ 1,0 - (f_{ck} - 50) / 200 & 50 < f_{ck} \le 90 MPa\end{cases}$

Se la larghezza della zona di compressione decresce nella direzione della fibra più compressa, occorre diminuire $\eta \, f_{cd}$ del $10\%$

===== Legge costitutiva per analisi strutturale non lineare =====

La seguente legge costitutiva viene invece impiegata per modellizzare il comportamento del calcestruzzo in un'analisi strutturale non lineare.

$$
\begin{matrix}
\frac{\sigma_c}{f_{cm}} = \frac{k \, \eta - \eta^2}{ 1 + (k-2)\eta} & &
0 \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu1}
\end{matrix}$$

in cui:
  * $\eta = \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}$

  * $ k = 1,05 \, E_{cm} \frac{\varepsilon_{c1}}{f_{cm}}$