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@@ Linea 6: / Linea 6: @@
 Lo stato limite di deformazione può essere verificato:
-  - limitando i rapporti luce/altezza utile;
+  - confrontando l’inflessione calcolata con un valore limite (//verifica diretta//)
-  - confrontando l’inflessione calcolata con un valore limite.
+  - limitando i rapporti luce/altezza utile (//verifica indiretta//)
-====== Verifica indiretta ======
-===== Presupposti teorici =====
-Calcoliamo la freccia massima di una trave supponendo di avere piena fessurazione su tutta la sua lunghezza
+====== Verifica diretta ======
-$$f \cong f_{II} = C \cdot \frac{M_{max} \cdot l^2}{E_c \cdot I_{\alpha,II}} $$
+Supponiamo di voler calcolare il parametro deformativo $\alpha$: cedimento in mezzeria della trave piuttosto che rotazione su un appoggio.
-in cui:
+Calcoliamo tale grandezza con la formula
-  - $I_{\alpha,II}$ è il momento di inerzia omogeneizzato della sezione fessurata assumendo come $\alpha$ il coefficiente di omogeneizzazione
-  - $M_{max}$ è il momento massimo agente
-  - $C$ è un numero che dipende dalla configurazione statica:
-    * nel caso di trave semplicemente appoggiata e carico distribuito $C = \frac{40}{384}$
-    * nel caso di trave semplicemente appoggiata e carico concentrato in mezzeria $C = \frac{1}{12}$
-    * nel caso di trave incastrata e carico distribuito $C = \frac{1}{4}$
-    * nel caso di trave incastrata e carico concentrato sull'estremo libero $C = \frac{1}{3}$
-Sotto le suddette ipotesi, supponiamo di avere armatura solo in zona tesa; la relativa tensione è data da
+$$\alpha = \zeta \; \alpha_{II} + \left( 1 - \zeta \right) \alpha_{I} $$
-$$\sigma_s = \alpha \frac{M_{max}}{I_{n,II}} (d - x) \Rightarrow M_{max} = \sigma_s \frac{I_{\alpha,II}}{\alpha \cdot (d-x)}  $$
+in cui:
+  * $\alpha_{I}$ è il parametro deformativo che intendiamo calcolare nella condizione non fessurata (calcestruzzo reagente sia a compressione che a trazione)
+  * $\alpha_{II}$ è il parametro deformativo nella condizione completamente fessurata (calcestruzzo reagente a sola compressione)
+  * $\zeta$ è un coefficiente di distribuzione che ci permette di tener conto del tension-stiffening
-Sostituendo nella prima
+Nel caso di sezione non fessurata, $\zeta$ è uguale a 0. Nel caso di sezione completamente fessurata, $\zeta$ è uguale a 1. nei casi intermedi calcoliamo $\zeta$ con la formula
-$$f_{II} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l^2}{E_s (d-x)} $$
+$$\zeta = 1 - \beta \left( \frac{\sigma_{sr}}{\sigma_{s}} \right)^2 $$
-Dividiamo primo e secondo membro per $l$
+in cui:
+  * $\beta$ è un coefficiente che tiene conto della durata di applicazione del carico
+    * $\beta = 1$ nel caso di carichi di breve durata
+    * $\beta = 0.5$ nel caso di carichi di lunga durata o carichi applicati ciclicamente
+  * $\sigma_{s}$ è la tensione nell'armatura di acciaio nell'ipotesi di sezione fessurata
+  * $\sigma_{sr}$ è la tensione nell'armatura di acciaio nell'ipotesi di sezione fessurata applicando il carico di prima fessurazione
+  * in caso la sezione sia soggetta ad un momento $M$, $\sigma_{sr}/\sigma_{s}$ può essere sostituito con $M_{cr}/M$, in cui $M_{cr}$ è il momento di prima fessurazione.
-$$\frac{f_{II}}{l} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l}{E_s (d-x)} $$
+Nel caso di carichi di lunga durata, dovendo tener conto dell'effetto del fluage, per valutare la deformabilità dle calcestruzzo useremo il modulo elastico effettivo
-e introduciamo la variabile $\xi = \frac{x}{d}$, arrivando a scrivere
+$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1 + \varphi \left( \infty, t_0 \right) } $$
-$$\frac{f_{II}}{l} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l}{E_s (1-\xi) d} $$
+====== Verifica indiretta ======
-Essendo in condizione di flessione semplice e supponendo di avere una sezione rettangolare, $\xi$ può essere calcolato imponendo l'annullamento del momento statico omogeneizzato secondo
-$$\xi = - \alpha \cdot \rho \left( 1 - \sqrt{1+ \frac{2}{\alpha \cdot \rho}} \right)$$
-in cui
-$$\rho = \frac{A_s }{b \cdot d}$$
-In definitiva arriviamo a scrivere
-$$\frac{ l}{ d} = \frac{E_s}{C \cdot \sigma_s} \left[ 1 + \alpha \cdot \rho \left( 1 - \sqrt{1+ \frac{2}{\alpha \cdot \rho}} \right) \right]  \frac{f_{II}}{l}$$
-Imponendo i valori del rapporto ${f}/{l}$ e della tensione nell'armatura tesa, questa formula ci permette di verificare il valore dell'inflessione operando a favore di sicurezza.
-Le normative ci propongono invece formule che forniscono valori apparentemente meno cautelativi in quanto tengono conto anche di due contributi positivi:
-  - della resistenza a trazione del calcestruzzo che, seppur limitata, è comunque presente
-  - del tension-stiffening.
 ==== Verifica indiretta secondo Eurocodice ====
@@ Linea 108: / Linea 91: @@
   - per travi e piastre nervate caricate da tramezzi che possano subire danni a causa di inflessioni eccessive, i valori della formula devono essere moltiplicati per il rapporto $7 m /l$, essendo $l$ la luce di calcolo in metri
   - per piastre non nervate la cui luce maggiore $l$ ecceda $8,5 m$, caricate da tramezzi che possano subire danni a causa di inflessioni eccessive, i valori dati dalla formula devono essere moltiplicati per il rapporto $8,5 m /l$, con $l$ in metri.
+===== Presupposti teorici delle formule di verifica indiretta =====
+Calcoliamo la freccia massima di una trave supponendo di avere piena fessurazione su tutta la sua lunghezza
+$$f \cong f_{II} = C \cdot \frac{M_{max} \cdot l^2}{E_c \cdot I_{\alpha,II}} $$
+in cui:
+  - $I_{\alpha,II}$ è il momento di inerzia omogeneizzato della sezione fessurata assumendo come $\alpha$ il coefficiente di omogeneizzazione
+  - $M_{max}$ è il momento massimo agente
+  - $C$ è un numero che dipende dalla configurazione statica:
+    * nel caso di trave semplicemente appoggiata e carico distribuito $C = \frac{40}{384}$
+    * nel caso di trave semplicemente appoggiata e carico concentrato in mezzeria $C = \frac{1}{12}$
+    * nel caso di trave incastrata e carico distribuito $C = \frac{1}{4}$
+    * nel caso di trave incastrata e carico concentrato sull'estremo libero $C = \frac{1}{3}$
+Sotto le suddette ipotesi, supponiamo di avere armatura solo in zona tesa; la relativa tensione è data da
+$$\sigma_s = \alpha \frac{M_{max}}{I_{n,II}} (d - x) \Rightarrow M_{max} = \sigma_s \frac{I_{\alpha,II}}{\alpha \cdot (d-x)}  $$
+Sostituendo nella prima
+$$f_{II} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l^2}{E_s (d-x)} $$
+Dividiamo primo e secondo membro per $l$
+$$\frac{f_{II}}{l} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l}{E_s (d-x)} $$
+e introduciamo la variabile $\xi = \frac{x}{d}$, arrivando a scrivere
+$$\frac{f_{II}}{l} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l}{E_s (1-\xi) d} $$
+Essendo in condizione di flessione semplice e supponendo di avere una sezione rettangolare, $\xi$ può essere calcolato imponendo l'annullamento del momento statico omogeneizzato secondo
+$$\xi = - \alpha \cdot \rho \left( 1 - \sqrt{1+ \frac{2}{\alpha \cdot \rho}} \right)$$
+in cui
+$$\rho = \frac{A_s }{b \cdot d}$$
+In definitiva arriviamo a scrivere
+$$\frac{ l}{ d} = \frac{E_s}{C \cdot \sigma_s} \left[ 1 + \alpha \cdot \rho \left( 1 - \sqrt{1+ \frac{2}{\alpha \cdot \rho}} \right) \right]  \frac{f_{II}}{l}$$
+Imponendo i valori del rapporto ${f}/{l}$ e della tensione nell'armatura tesa, questa formula ci permette di verificare il valore dell'inflessione operando a favore di sicurezza.
+Le normative ci propongono invece formule che forniscono valori apparentemente meno cautelativi in quanto tengono conto anche di due contributi positivi:
+  - della resistenza a trazione del calcestruzzo che, seppur limitata, è comunque presente
+  - del tension-stiffening.

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