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tecnica_costruzioni:cls:sle_inflessione

Stato limite di deformazione

Allo scopo di garantire la salvaguardia dell’aspetto e della funzionalità dell’opera, le frecce a lungo termine di travi e solai, calcolate sotto la condizione quasi permanente dei carichi, non devono superare il limite di 1/250 della luce.

Per garantire invece l'integrità delle pareti divisorie e di tamponamento portate, le frecce di travi e solai successive alla costruzione di questi, calcolate anche in questo caso sotto la condizione quasi permanente dei carichi, non devono superare il limite di 1/500 della luce. Tale limite si applica al caso di pareti divisorie in muratura; per altre tipologie di pareti si dovranno valutare limiti di inflessione ammissibili diversi.

Lo stato limite di deformazione può essere verificato:

  1. confrontando l’inflessione calcolata con un valore limite (verifica diretta)
  2. limitando i rapporti luce/altezza utile (verifica indiretta)

Verifica diretta

Supponiamo di voler calcolare il parametro deformativo $\alpha$: cedimento in mezzeria della trave piuttosto che rotazione su un appoggio.

Calcoliamo tale grandezza con la formula

$$\alpha = \zeta \; \alpha_{II} + \left( 1 - \zeta \right) \alpha_{I} $$

in cui:

  • $\alpha_{I}$ è il parametro deformativo che intendiamo calcolare nella condizione non fessurata (calcestruzzo reagente sia a compressione che a trazione)
  • $\alpha_{II}$ è il parametro deformativo nella condizione completamente fessurata (calcestruzzo reagente a sola compressione)
  • $\zeta$ è un coefficiente di distribuzione che ci permette di tener conto del tension-stiffening

Nel caso di sezione non fessurata, $\zeta$ è uguale a 0. Nel caso di sezione completamente fessurata, $\zeta$ è uguale a 1. nei casi intermedi calcoliamo $\zeta$ con la formula

$$\zeta = 1 - \beta \left( \frac{\sigma_{sr}}{\sigma_{s}} \right)^2 $$

in cui:

  • $\beta$ è un coefficiente che tiene conto della durata di applicazione del carico
    • $\beta = 1$ nel caso di carichi di breve durata
    • $\beta = 0.5$ nel caso di carichi di lunga durata o carichi applicati ciclicamente
  • $\sigma_{s}$ è la tensione nell'armatura di acciaio nell'ipotesi di sezione fessurata
  • $\sigma_{sr}$ è la tensione nell'armatura di acciaio nell'ipotesi di sezione fessurata applicando il carico di prima fessurazione
  • in caso la sezione sia soggetta ad un momento $M$, $\sigma_{sr}/\sigma_{s}$ può essere sostituito con $M_{cr}/M$, in cui $M_{cr}$ è il momento di prima fessurazione.

Nel caso di carichi di lunga durata, dovendo tener conto dell'effetto del fluage, per valutare la deformabilità dle calcestruzzo useremo il modulo elastico effettivo

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1 + \varphi \left( \infty, t_0 \right) } $$

Verifica indiretta

Verifica indiretta secondo Eurocodice

$$ \left( \frac{l}{d} \right)_{lim} = \begin{cases} K \cdot \left(11 + 1,5 \cdot \sqrt{f_{ck}} \cdot \frac{\rho_0}{\rho} + 3,2 \cdot \sqrt{f_{ck}} \cdot \left( \frac{\rho_0}{\rho} - 1 \right) ^{\frac{3}{2}} \right) & \rho \le \rho_0 \\\\ K \cdot \left( 11 + 1,5 \cdot \sqrt{f_{ck}} \cdot \frac{\rho_0}{\rho - \rho'} + \frac{1}{12} \sqrt{ f_{ck} \cdot \frac{\rho'}{\rho_0} } \right) & \rho > \rho_0 \end{cases} $$

in cui:

  • $\left( \frac{l}{d} \right)_{lim}$ è il rapporto limite tra luce ed altezza utile;
  • $\rho_0 = \sqrt{f_{ck}} \cdot 10^{-3}$
  • $\rho = \frac{A_{s,req}}{b \cdot d}$ è il rapporto di armatura tesa richiesta in mezzeria per resistere al momento indotto dai carichi di progetto (all’incastro per mensole) essendo $b$ la larghezza della zona compressa
  • $\rho' = \frac{A'_{s,req}}{b \cdot d}$ è il rapporto di armatura compressa richiesta in mezzeria per resistere al momento indotto dai carichi di progetto (all’incastro per mensole)
  • $f_{ck}$ è in Megapascal
  • $K$ è un fattore che tiene conto del sistema strutturale secondo la tabella
Sistema strutturale $K$
Travi semplicemente appoggiate, piastre semplicemente appoggiate mono o bidirezionali 1,0
Campata terminale di travi continue o piastre continue monodirezionali o piastre bidirezionali continue su un lato lungo 1,3
Campata intermedia di travi o di piastre mono o bidirezionali 1,5
Piastre sorrette da pilastri senza travi (piastre non nervate) (in base alla luce maggiore) 1,2
Mensole 0,4

L'espressione sopra riportata è stata ricavata assumendo una tensione nell'acciaio pai a 310 MPa con una tensione di snervamento di 500 MPa. Se i livelli tensionali sono diversi, i valori limite della suddetta formula vanno moltiplicati per il rapporto $310 / \sigma_s$. Quest'ultimo valore può essere prudenzialmente stimato mediante la relazione

$$\frac{310}{\sigma_s} = \frac{500 \cdot A_{s,prov} }{f_{yk} \cdot A_{s,req}} $$

Per sezioni a T in cui il rapporto tra la larghezza dell'ala e quella dell'anima è maggiore di 3, i suddetti valori vanno ridotti del 20%.

Per travi e piastre nervate con luce maggiore di $7 m$, il suddetto rapporto limite va moltiplicato per $7 m / l_{eff}$.

Per piastre senza nervature con luce maggiore di $8,5 m$, il suddetto repporto limite il rapporto limite va moltiplicato per $8,5 m / l_{eff}$.

Per rapporti di armatura $\rho$ ridotti, come quelli che si possono avere nei solai e in alcune piastre, il valore del rapporto limite calcolato con la formula riportata sopra potrebbe risultare eccessivo. Si consiglia a tal riguardo di non assumere valori della snellezza di riferimento maggiori di 36 (valore a cui andranno ancora applicati i coefficienti riduttivi/maggiorativi dovuti a luce, forma della sezione e tensioni effettive nell'acciaio).

Verifica indiretta secondo circolare applicativa delle NTC08

Il rapporto limite fornito dalla circolare 619/2009 (formula C4.1.13) è tra la luce e l'altezza complessiva della sezione, secondo l'espressione

$$\left( \frac{l}{h} \right)_{lim} = K \left( 11 + \frac{0,0015 \cdot f_{ck}}{\rho + \rho'} \right) \cdot \frac{500 \cdot A_{s,prov}}{ f_{yk} \cdot A_{s,req}} $$

con analogo significato rispetto alla simbologia vista al paragrafo precedente.

Anche in questo caso, come visto in precedenza:

  1. per sezioni a T aventi larghezza dell’ala maggiore di tre volte lo spessore dell’anima, i valori dati dalla formula vanno ridotti del 20%
  2. per travi e piastre nervate caricate da tramezzi che possano subire danni a causa di inflessioni eccessive, i valori della formula devono essere moltiplicati per il rapporto $7 m /l$, essendo $l$ la luce di calcolo in metri
  3. per piastre non nervate la cui luce maggiore $l$ ecceda $8,5 m$, caricate da tramezzi che possano subire danni a causa di inflessioni eccessive, i valori dati dalla formula devono essere moltiplicati per il rapporto $8,5 m /l$, con $l$ in metri.

Presupposti teorici delle formule di verifica indiretta

Calcoliamo la freccia massima di una trave supponendo di avere piena fessurazione su tutta la sua lunghezza

$$f \cong f_{II} = C \cdot \frac{M_{max} \cdot l^2}{E_c \cdot I_{\alpha,II}} $$

in cui:

  1. $I_{\alpha,II}$ è il momento di inerzia omogeneizzato della sezione fessurata assumendo come $\alpha$ il coefficiente di omogeneizzazione
  2. $M_{max}$ è il momento massimo agente
  3. $C$ è un numero che dipende dalla configurazione statica:
    • nel caso di trave semplicemente appoggiata e carico distribuito $C = \frac{40}{384}$
    • nel caso di trave semplicemente appoggiata e carico concentrato in mezzeria $C = \frac{1}{12}$
    • nel caso di trave incastrata e carico distribuito $C = \frac{1}{4}$
    • nel caso di trave incastrata e carico concentrato sull'estremo libero $C = \frac{1}{3}$

Sotto le suddette ipotesi, supponiamo di avere armatura solo in zona tesa; la relativa tensione è data da

$$\sigma_s = \alpha \frac{M_{max}}{I_{n,II}} (d - x) \Rightarrow M_{max} = \sigma_s \frac{I_{\alpha,II}}{\alpha \cdot (d-x)} $$

Sostituendo nella prima

$$f_{II} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l^2}{E_s (d-x)} $$

Dividiamo primo e secondo membro per $l$

$$\frac{f_{II}}{l} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l}{E_s (d-x)} $$

e introduciamo la variabile $\xi = \frac{x}{d}$, arrivando a scrivere

$$\frac{f_{II}}{l} = C \cdot \frac{\sigma_s \cdot l}{E_s (1-\xi) d} $$

Essendo in condizione di flessione semplice e supponendo di avere una sezione rettangolare, $\xi$ può essere calcolato imponendo l'annullamento del momento statico omogeneizzato secondo

$$\xi = - \alpha \cdot \rho \left( 1 - \sqrt{1+ \frac{2}{\alpha \cdot \rho}} \right)$$

in cui

$$\rho = \frac{A_s }{b \cdot d}$$

In definitiva arriviamo a scrivere

$$\frac{ l}{ d} = \frac{E_s}{C \cdot \sigma_s} \left[ 1 + \alpha \cdot \rho \left( 1 - \sqrt{1+ \frac{2}{\alpha \cdot \rho}} \right) \right] \frac{f_{II}}{l}$$

Imponendo i valori del rapporto ${f}/{l}$ e della tensione nell'armatura tesa, questa formula ci permette di verificare il valore dell'inflessione operando a favore di sicurezza.

Le normative ci propongono invece formule che forniscono valori apparentemente meno cautelativi in quanto tengono conto anche di due contributi positivi:

  1. della resistenza a trazione del calcestruzzo che, seppur limitata, è comunque presente
  2. del tension-stiffening.

tecnica_costruzioni/cls/sle_inflessione.txt · Ultima modifica: 2017/07/23 18:05 da mickele

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