La fessurazione è un fenomeno fisiologico inevitabile delle strutture in cemento armato. E' però necessario controllare la formazione delle fessure essenzialmente per due motivi: per ragioni estetiche; per garantire alla struttura una durabilità in linea con la vita nominale assegnata.

Si riconoscono tre livelli di stato limite di fessurazione:

• Stato Limite di decompressione, in cui il calcestruzzo è soggetto a sole tensioni negative (compressione)
• Stato Limite di formazione delle fessure, in cui le tensioni nel calcestruzzo, seppur positive, non superano il valore della resistenza a trazione
• Stato Limite di apertura delle fessure, in cui le tensioni nel calcestruzzo superano la resistenza a trazione e si formano delle fessure di cui dovremo calcolare l'ampiezza.

$$\sigma_c = \frac{M}{J_{\alpha}} y \le 0$$

in cui:

1. $J_{\alpha}$ è il momento di inerzia omogeneizzato della sezione non fessurata

L'eurocodice ci dà come indicazioni (rif. par. 7.1(2))

$$\sigma_c = \frac{M}{J_{\alpha}} y \le f_{ct,eff} = f_{ctm}$$

da cui

$$M_{cr} = \frac{J_{\alpha}}{y_{c,max}} f_{ct,eff} $$

Le NTC08 ci indicano invece, più prudenzialmente,

$$\sigma_c = \frac{M}{J_{\alpha}} y \le \frac{f_{ctm}}{1,2}$$

L'Eurodice ci fornisce le seguenti indicazioni

Le NTC08 invece ci danno prescrizioni più restrittive

Nell'ipotesi che tutte le sezioni siano sottoposte alle stesse condizioni di sollecitazione, superata la tensione massima resistente a trazione la conseguente crisi del materiale dovrebbe avvenire in tutte le sezioni interessate. In realtà, la fessura si instaurerà nella sezione meno resistente che non è individuabile a priori con condisderazioni deterministiche.

Supponendo che lo stato di sollecitazione analizzato sia costituito da sola flesisone, nella sezione in cui si forma la fessura avremo

$$\sigma_{s,cr} = \alpha \frac{M_{cr}}{J_{\alpha,cr}} (d - x) $$ $$\sigma_{c,cr} = 0 $$

in cui:

1. $J_{\alpha,cr}$ è il momento di inerzia omogeneizzato della sezione fessurata
2. $M_{cr}$ è il momento di prima fessurazione definito al paragrafo precedente

Allontanandosi dalla fessura lo sforzo nelle armature tese diminuisce in virtù delo sforzo di aderenza tra il calcestruzzo e l'armatura. Supponendo costante il valore della tensione di aderenza suddetta $\tau_{ad}$, e indicando con $\Delta l$ la distanza della sezione analizzata dalla sezione fessurata, possiamo scrivere

$$\Delta N_s = \Delta \sigma_{s,\Delta l} \cdot A_s = \Delta l \cdot \tau_{ad} \cdot \sum \limits_i \pi \cdot \phi_i \Longrightarrow \Delta \sigma_{s,\Delta l} = \frac{\Delta l \cdot \tau_{ad} \cdot \sum \limits_i \pi \cdot \phi_i }{A_s}$$

Lo sforzo $\Delta N_s$ viene trasmesso al calcestruzzo secondo

$$\Delta N_s = \sigma_c \cdot A_{c,eff} = \Delta \sigma_{s,\Delta l} \cdot A_s$$

in cui $A_{c,eff}$ è l'area efficace di calcstruzzo teso attorno alle armature tese.

Imponendo

$$\sigma_c = f_{ct,eff}$$

troviamo la lunghezza di trasferimento $l_{tr}$, ossia la distanza dalla fessura a partire dalla quale la tensione nel calcestruzzo assume il suo valore massimo

$$f_{ct,eff} \cdot A_{c,eff} = l_{tr} \cdot \tau_{ad} \cdot \sum \limits_i \pi \cdot \phi_i $$

da cui

$$l_{tr} = \frac{f_{ct,eff} \cdot A_{c,eff}} {\tau_{ad} \cdot \sum \limits_i \pi \cdot \phi_i} = \frac{f_{ct,eff} \cdot A_{c,eff} / A_s} {\tau_{ad} \cdot {\sum \limits_i \pi \cdot \phi_i} / {\sum \limits_i 4 \pi \cdot \phi_i^2}} = \frac{f_{ct,eff} \cdot A_{c,eff} / A_s} {4 \tau_{ad} \cdot {\sum \limits_i \cdot \phi_i} / {\sum \limits_i \cdot \phi_i^2}}$$

Introducendo le due grandezze:

1. diametro equivalente delle armature $\phi_{eq} = \frac{\sum \limits_i \phi_i^2}{\sum \limits_i \phi_i}$
2. la percentuale di armatura rispetto all'area effettiva in trazione $\rho_{p,eff} = \frac{A_s}{A_{c,eff}}$

la lunghezza di trasferimento può essere riscritta nella forma

$$l_{tr} = \frac{f_{ct,eff} \cdot \phi_{eq}} {4 \cdot \tau_{ad} \cdot \rho_{p,eff}}$$

Aumentando lo stato di sollecitazione, si formeranno sempre più fessure, la cui distanza non sarà mai superiore alla lunghezza di trasferimento $l_{tr}$. Raggiunto un certo livello di sollecitazione avremo la stabilizzazione dello stato fessurativo: non si formeranno più altre fessure ma quelle esistenti aumenteranno la propria ampiezza con l'aumentare dei carichi. Raggiunta tale condizioni di stabilizzazione al distanza tra due fessure non potrà essere superiore a $2 \, l_{tr}$. Quindi, ricapitolando, la distanza tra due fessure $s_r$ sarà compresa tra $l_{tr}$ e $2 \, l_{tr}$.

In corrispondenza delle fessure la tensione nell'acciaio sarà valutata nell'ipotesi di sezione interamente fessurata

$$\sigma_{s,cr} = \alpha \frac{M}{J_{\alpha,cr}} \left( d - x \right)$$

Allontanandosi dalla fessura le tensione sarà pari a

$$\sigma_{s,\Delta l} = \sigma_{s,cr} - \frac{\tau_{ad} \cdot \sum \limits_i \pi \cdot \phi_i}{A_s}$$

Nella sezione in cui la tensione nel calcestruzzo è massima abbiamo

$$ \tau_{ad} \cdot \sum \limits_i \pi \cdot \phi_i = f_{ct,eff} \cdot A_{c,eff}$$

conseguentemente la tensione nell'acciaio sarà pari a

$$\sigma_{s,l_{tr}} = \sigma_{s,cr} - \frac{f_{ct,eff} \cdot A_{c,eff}}{A_s} = \sigma_{s,cr} - \frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}$$

Ricapitolando, le tensioni nell'acciaio variano da $\sigma_{s,cr}$ a

$$\sigma_{s,l_{tr}} = \sigma_{s,cr} - \frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}$$

Le deformazioni conseguentemente variano da

$$\varepsilon_{s,cr} = \frac{\sigma_{s,cr}}{E_s} $$

a

$$\varepsilon_{s,l_{tr}} = \frac{\sigma_{s,cr}}{E_s} - \frac{f_{ct,eff}}{E_s \cdot \rho_{p,eff}} $$

Il valore medio della deformazione può essere espresso nella forma

$$\varepsilon_{sm} = \frac{\sigma_{s,cr}}{E_s} - k_t \cdot \frac{f_{ct,eff}}{E_s \cdot \rho_{p,eff}} $$

in cui $k_t$ è un coefficiente compreso tra $0$ ed $1$ il cui valore dipende dalla distribuzione delle deformazioni nel tratto compreso tra la fessura e $l_{tr}$. Nell'ipotesi di variazione lineare, $k_t = 1/2$.

La suddetta formula può essere riscritta nella forma

$$\varepsilon_{sm} = \sigma_{s} \left( \frac{1}{E_s} - k_t \cdot \frac{f_{ct,eff}}{E_s \cdot \rho_{p,eff} \cdot \sigma_{s}} \right) = \sigma_{s} \left( E_s \cdot \frac{\rho_{p,eff} \cdot \sigma_{s}}{\rho_{p,eff} \cdot \sigma_{s} - k_t \cdot f_{ct,eff}} \right)^{-1}$$

Da cui osserviamo che l'interazione tra l'armatura in acciaio ed il calcestruzzo posto nelle sue immediate vicinanze determina un incremento apparente del modulo di elasticità normale dell'acciaio. Tale fenomeno è detto tension stiffening.

Possiamo calcolare l'ampiezza della fessura come l'integrale della differenza tra le deformazioni dell'acciaio e del calcestruzzo, valutato sulla distanza che intercorre tra il punto mediano tra la fessura analizzata e la precedente e quello tra la fessura analizzata e la successiva

$$w = \int \limits_{-s_r / 2 }^{s_r / 2} \left( \varepsilon_s - \varepsilon_c \right) \, \mathrm{d}l$$

Sulla scorta di quanto visto sopra, i valori medi della deformazione nell'acciaio $\varepsilon_{sm}$ e nel calcestruzzo $\varepsilon_{cm}$ possono essere valutati mediante le espressioni

$$\varepsilon_{sm} = \frac{\sigma_{s}}{E_s} - k_t \frac{f_{ct,eff}}{E_s \cdot \rho_{p,eff}} $$

$$\varepsilon_{cm} = k_t \frac{f_{ct,eff}}{E_c} $$

L'ampiezza della fessura è quindi data da

$$w = s_r \left( \varepsilon_{sm} - \varepsilon_{cm} \right)$$

in cui

$$ \varepsilon_{sm} - \varepsilon_{cm} = \frac{\sigma_{s}}{E_s} - k_t \frac{f_{ct,eff}}{E_s \cdot \rho_{p,eff}} - k_t \frac{f_{ct,eff}}{E_c} = \frac{1}{E_s} \left[ \sigma_s - k_t \frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}} \left( 1 + \alpha \cdot \rho_{p,eff} \right) \right]$$

L'Eurocodice 2 ci fornisce le indicazioni necessarie per valutare alcuni dei cofficienti visti al paragrafo precedente.

Il termine $\varepsilon_{sm} - \varepsilon_{cm}$ è dato da

$$\varepsilon_{sm} - \varepsilon_{cm} = \frac{\sigma_s - k_t \frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}} \left( 1 + \alpha \cdot \rho_{p,eff}\right) }{E_s} \ge \frac{\sigma_s}{E_s}$$

in cui:

1. $k_t$ dipende dalla durata del carico; 0,6 per carichi di breve durata; 0,4 per carichi di lunga durata
2. $\rho_{p,eff} = \left( A_{s} + \xi_{1}^{2} A_{p}' \right) / A_{c,eff}$
3. $A_{c,eff} = b \cdot h_{eff}$ è l'area della sezione in calcestruzzo effettivamente reagente a trazione con l'armatura considerata; $b$ è la larghezza dell'area soggetta a trazione; $h_{eff} = \min \left\{ 2,5 (h - d); (h - x) / 3; h / 2 \right\}$
4. $A_{s}$ è l'area dell'armatura tesa
5. $A_{p}'$ è l'area dell'armatura di precompressione all'interno di $A_{ct,eff}$
6. $\xi_{1} = \sqrt{\xi \cdot \frac{\phi_s}{\phi_p}}$ è rapporto modificato della resistenza per aderenza che tiene conto dei diversi diametri dell'acciaio da precompressione e di quello ordinario; se è impiegata solo armatura di precompressione $\xi_{1} = \sqrt{\xi}$
7. $\phi_s$ è il maggior diametro delle barre in acciaio ordinario
8. $\phi_p$ è il diametro equivalente dell'armatura di precompressione
9. $\xi$ è il rapporto della resistenza di aderenza fra armature da precompressione e armature ordinarie, ottenuto dalla tabella

Il termine $s_{r,max}$ è dato da

$$s_{r,max} = k_3 \cdot c + k_1 \cdot k_2 \cdot k_4 \frac{\phi_{eq}}{\rho_{p,eff}}$$

in cui:

1. $c$ è il copriferro della sezione
2. $\phi_{eq}$ è il diametro equivalente delle aramture come definito sopra
3. $k_1$ è un coefficiente che tiene conto dell'aderenza tra barre e calcestruzzo; è pari a $0,8$ per barre ad aderenza migliorata, $1,6$ per barre lisce
4. $k_2$ è un coefficiente che tiene conto della distribuzione delle deformazioni; è pari a $0,5$ per la flessione, $1,0$ per trazione pura
5. $k_3 = 3,4$
6. $k_4 = 0,425$

L'ampiezza della fessura viene calcolata con l'espressione

$$w_k = s_{r,max} \left( \varepsilon_{sm} - \varepsilon_{cm} \right)$$