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Dimensionamento di elementi inflessi a Stato Limite Ultimo
Sezione semplicemente armata
Analisi adimensionale della sezione a SLU
Consideriamo una sezione rettangolare di base $b$ e altezza utile $d$, con un armatura $A_{sl}$ disposta inferiormente.
Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione,
$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl}$$
Dividiamo primo e secondo membro per $b \, d \, f_{cd}$ e introduciamo le grandezze adimensionali
- altezza adimensionale dell'asse neutro
$$\xi = \frac{x}{d}$$
- percentuale meccanica di armatura
$$\omega = \frac{A_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
$$\kappa = \frac{\sigma_s}{f_{yd}}$$
- sforzo normale ridotto
$$\nu = \frac{N_Ed}{b \, d \, f_{cd}}$$
La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$
Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione, l'equazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
$$ 0 = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$
$\kappa$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3,
$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon_s}{d - x} \Longrightarrow \epsilon_s = \left( \frac{d}{x} - 1 \right)\varepsilon_{cu2}$$
da cui
$$\epsilon_s = \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2}$$
Quindi
$$\kappa = \begin{cases} \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2} \le \varepsilon_{yd} \\\\ 1 & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd} \end{cases}$$
Possiamo allora esprimere $\omega$ in funzione di $\xi$ con la relazione
$$ \omega_{0} = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$
L'equilibrio a rotazione ci permette di scrivere
$$ M_{Rd} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 \, x \right)$$
Dividendo anche stavola per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo la grandezza adimensionale
- momento resistente adimensionale
$$\mu_{d,0}= \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$
arriviamo a scrivere
$$ \mu_{d,0} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$
relazione che lega $\mu_{d}$ a $\xi$
Possiamo allora scrivere una tabella in cui, in funzione dell'altezza utile adimensionale $\xi$, abbiamo i corrispondenti valori della percentuale meccanica di armatura $\omega$ e del momento resistente adimensionale $\mu_d$
$\xi$ | $\kappa$ | $\mu_{d,0}$ | $\omega_{0}$ |
---|---|---|---|
0,05 | 1 | 0,0396343537 | 0,0404761905 |
0,06 | 1 | 0,0473591837 | 0,0485714286 |
0,07 | 1 | 0,0550166667 | 0,0566666667 |
0,08 | 1 | 0,0626068027 | 0,0647619048 |
0,09 | 1 | 0,0701295918 | 0,0728571429 |
0,10 | 1 | 0,077585034 | 0,080952381 |
0,11 | 1 | 0,0849731293 | 0,089047619 |
0,12 | 1 | 0,0922938776 | 0,0971428571 |
0,13 | 1 | 0,0995472789 | 0,1052380952 |
0,14 | 1 | 0,1067333333 | 0,1133333333 |
0,15 | 1 | 0,1138520408 | 0,1214285714 |
0,16 | 1 | 0,1209034014 | 0,1295238095 |
0,17 | 1 | 0,127887415 | 0,1376190476 |
0,18 | 1 | 0,1348040816 | 0,1457142857 |
0,19 | 1 | 0,1416534014 | 0,1538095238 |
0,20 | 1 | 0,1484353741 | 0,1619047619 |
0,21 | 1 | 0,15515 | 0,17 |
0,22 | 1 | 0,1617972789 | 0,1780952381 |
0,23 | 1 | 0,1683772109 | 0,1861904762 |
0,24 | 1 | 0,1748897959 | 0,1942857143 |
0,25 | 1 | 0,181335034 | 0,2023809524 |
0,26 | 1 | 0,1877129252 | 0,2104761905 |
0,27 | 1 | 0,1940234694 | 0,2185714286 |
0,28 | 1 | 0,2002666667 | 0,2266666667 |
0,29 | 1 | 0,206442517 | 0,2347619048 |
0,30 | 1 | 0,2125510204 | 0,2428571429 |
0,31 | 1 | 0,2185921769 | 0,250952381 |
0,32 | 1 | 0,2245659864 | 0,259047619 |
0,33 | 1 | 0,230472449 | 0,2671428571 |
0,34 | 1 | 0,2363115646 | 0,2752380952 |
0,35 | 1 | 0,2420833333 | 0,2833333333 |
0,36 | 1 | 0,2477877551 | 0,2914285714 |
0,37 | 1 | 0,2534248299 | 0,2995238095 |
0,38 | 1 | 0,2589945578 | 0,3076190476 |
0,39 | 1 | 0,2644969388 | 0,3157142857 |
0,40 | 1 | 0,2699319728 | 0,3238095238 |
0,41 | 1 | 0,2752996599 | 0,3319047619 |
0,42 | 1 | 0,2806 | 0,34 |
0,43 | 1 | 0,2858329932 | 0,3480952381 |
0,44 | 1 | 0,2909986395 | 0,3561904762 |
0,45 | 1 | 0,2960969388 | 0,3642857143 |
0,46 | 1 | 0,3011278912 | 0,3723809524 |
0,47 | 1 | 0,3060914966 | 0,3804761905 |
0,48 | 1 | 0,3109877551 | 0,3885714286 |
0,49 | 1 | 0,3158166667 | 0,3966666667 |
0,50 | 1 | 0,3205782313 | 0,4047619048 |
0,51 | 1 | 0,325272449 | 0,4128571429 |
0,52 | 1 | 0,3298993197 | 0,420952381 |
0,53 | 1 | 0,3344588435 | 0,429047619 |
0,54 | 1 | 0,3389510204 | 0,4371428571 |
0,55 | 1 | 0,3433758503 | 0,4452380952 |
0,56 | 1 | 0,3477333333 | 0,4533333333 |
0,57 | 1 | 0,3520234694 | 0,4614285714 |
0,58 | 1 | 0,3562462585 | 0,4695238095 |
0,59 | 1 | 0,3604017007 | 0,4776190476 |
0,60 | 1 | 0,3644897959 | 0,4857142857 |
0,61 | 1 | 0,3685105442 | 0,4938095238 |
0,62 | 1 | 0,3724639456 | 0,5019047619 |
0,63 | 1 | 0,37635 | 0,51 |
0,64 | 1 | 0,3801687075 | 0,5180952381 |
0,65 | 0,9632478632 | 0,383920068 | 0,546266954 |
Formule di progetto in caso di flessione semplice
Flessione semplice
In fase di dimensionamento fissiamo un valore di $\xi$. Per garantire un comportamento duttile dovremo avere $\xi \le 0,45$. Imponendo $\xi = 0,45$ abbiamo $\mu_{d,0,lim} = 0,296$ e $\omega_{0,lim} = 0,364$.
Con tali valori possiamo procedere al dimensionamento della nostra sezione, imponendo
$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
Pressoflessione contenuta
Nel caso la sezione sia soggetta ad un debole sforzo normale (con debole intendiamo che a SLU l'asse neutro continua a tagliare la sezione), ricollochiamo lo sforzo normale ed il momento nel baricentro dell'armatura tesa: $N_{Ed}$ rimarrà invariato, $M_{Ed}$ cambierà.
Nel caso $M_{Ed}$ sia stato riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo
$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$
Dimensioniamo la sezione in cls imponendo
$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
Dovremo sommare all'armatura $\omega_{0,lim}$ corrispondente a $\mu_{d,0,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.
Per determinare $\Delta \omega$ calcoliamo lo sforzo normale ridotto usando il valore dello sforzo normale agente
$$\nu = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$$
Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo
$$\nu = \kappa \Delta \omega \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\nu}{\kappa}$$
L'armatura della sezione sarà quindi
$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega $$
Sezione doppiamente armata
$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl} - \sigma'_s \, A'_{sl} $$
- percentuale meccanica di armatura compressa
$$\omega' = \frac{A'_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
- rapporto di tensione dell'armatura compressa
$$\kappa' = \frac{\sigma'_s}{f_{yd}}$$
- copriferro adimensionale dell'armatura compressa
$$\delta = \frac{d'}{d} $$ La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega - \kappa' \, \omega'$$
Anche in questo caso $\kappa'$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti, se siamo nel campo 3,
$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon'_s}{x - d'} \Longrightarrow \epsilon'_s = \left( 1 - \frac{d'}{x} \right)\varepsilon_{cu2}$$
da cui
$$\epsilon'_s = \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2}$$
Quindi
$$\kappa' = \begin{cases} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} \le \varepsilon_{yd} \\\\ 1 & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd} \end{cases}$$
L'analisi dell'equilibrio a rotazione calcoato rispetto al baricentro dell'armatura tesa ci permette di scrivere
$$\mu_d = \beta_1 \xi \left( 1 - \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega '$$
Formule di progetto in caso di flessione semplice
Flessione semplice
Calcoliamo il momento agente ridotto
$$\mu_{d} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
Una quota di tale momento sarà assorbita da una sezione in c.a. semplicemente armata con armatura $\omega_{0,lim}$ in zona tesa. La quota rimanente sarà assobita da una sezione ideale costituita da un'armatura tesa $\Delta omega$ ed una compressa $\omega '$.
In formule scriveremo
$$\mu_{d} = \mu_{d,0,lim} + \left( 1 - \delta \right) \kappa' \omega'$$
Con la quale possiamo calcolare l'armatura compressa
$$\omega' = \frac{ \mu_{d} - \mu_{d,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa'} $$
Determinata $\omega '$, calcoliamo $\Delta omega$ osservando che, per garantire l'equilibrio a traslazione della sezione finale
$$\kappa \Delta \omega = \kappa ' \omega' \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\kappa '}{\kappa} \omega'$$
Pressoflessione contenuta
Anche per la sezione doppiamente armata in presenza di un debole sforzo normale procediamo a ricollocare lo sforzo normale ed il momento all'altezza dell'armatura tesa.
Sempre nell'ipotesi che $M_{Ed}$ sia riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo
$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$
cui assiceremo il momento ridotto
$$\mu^*_{d} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
Per l'equilibrio a rotazione avremo
$$M^*_{Ed} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 x\right) + \left( d - d' \right) \sigma'_s \, A'_{sl}$$
Analogamente a quanto visto sopra, assorbiremo tale momento sommando due sezioni: una sezione in c.a. semplicemente armata con aramtua $\omega_0$ ed una sezione composta da due armature, una compressa $\omega'$ ed una tesa $\Delta omega_1$.
Adimensionalmente scriviamo
$$\mu_d = \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega'$$
$$\beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)$$ sarà assorbito dalla sezione semplicemente armata, secondo quanto visto sopra. La differenza $\mu_d - \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)$ sarà assorbita dalla sezione fittizia composta dalle due armature
$$\omega' = \frac{\mu_d - \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)}{\left( 1 - \delta \right) \kappa ' } $$
Dovremo aggiungere infine un ulteriore armatura in zona tesa per assorbire lo sforzo normale ricollocatovi
Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo
$$\nu = \kappa \Delta \omega_2 \Longrightarrow \Delta \omega_2 = \frac{\nu}{\kappa}$$
L'armatura finale della sezione in zona tesa sarà data dalla somma
$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega_1 + \Delta \omega_2$$